重心坐标

更新时间：2022-08-25 14:02

数学中，重心坐标是由单形（如三角形或四面体等）顶点定义的坐标。重心坐标是齐次坐标的一种。

定义

设在平面上给出 ．如果点X是这个三角形的顶点带有质量 和 的质量中心，那么 称做是点x关于 的重心坐标。

直线上的重心坐标

我们首先在一条直线上定义点的重心坐标．设 和 是直线z上的两个不同点 和 的向径．那么， 上的任意一点P的向径 可表示成

而且这种表示法是唯一的．当点P在线段 上时，还需要下列条件

这时，我们称 为点P的重心坐标．

重心坐标的几何意义是明显的： ．这里 和 表示相应线段的长．

平面上的重心坐标

设3点 和 构成三角形， 和 分别表示它们的向径．对三角形所在平面上的任意一点P，可把它的向径 表示为

这种表示方法是唯一的．事实上，设 还可表示成

将它与上述向径 式相减，得到

因为与，是线性无关的，所以

即

称是点P关于基的重心坐标．

如果点P在的内部或边界上，则除了外，还成立

重心坐标有下列几何意义．用[PQR]表示有向的面积(有正负)，则

为了证明这个结论，我们延长，使之与或其延长线相交于点Q，如图1所示．根据直线上一点的重心

坐标的定义得知

而

所以

由于重心坐标的唯一性，因此

由对称性，同样可以得出和的几何意义。

与内心坐标的关系

若三角形ABC所在平面中一个点的重心坐标P(x,y,z)，定义其内心坐标为，其中a、b、c为A、B、C对边边长。内心坐标是用P到三角形ABC三边距离之比来刻画P点的位置。三点共线的充要条件是内心坐标组成的三阶行列式的值等于0。

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