更新时间：2023-01-05 08:17
给定样本空间，如果其上的实值函数 是 (实值)可测函数，则称 为（实值）随机变量。初等概率论中通常不涉及到可测性的概念，而直接把任何 的函数称为随机变量。
如果 指定给概率空间 中每一个事件 有一个实数 ，同时针对每一个实数 都有一个事件集合与其相对应，其中{}，那么被称作随机变量。随机变量一般用大写拉丁字母或小写希腊字母（比如）来表示，从上面的定义注意到，随机变量实质上是函数，不能把它的定义与变量的定义相混淆，另外概率函数并没有在考虑之中。
例如，随机掷两个骰子，整个事件空间可以由36个元素组成：
这里可以构成多个随机变量，比如随机变量（获得的两个骰子的点数和）或者随机变量（获得的两个骰子的点数差），随机变量可以有11个整数值，而随机变量只有6个。
又比如，在一次扔硬币事件中，如果把获得的背面的次数作为随机变量，则可以取两个值，分别是0和1。
如果随机变量的取值是有限的或者是可数无穷尽的值
则称为离散
则称为连续随机变量，连续随机变量的取值是不可数及无穷尽的。
随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，其可能取各种随机变量不同的值，具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。如分析测试中的测定值就是一个以概率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变化，具体取什么值在测定之前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性。随机变量与模糊变量的不确定性的本质差别在于，后者的测定结果仍具有不确定性，即模糊性。
简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现。某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；等等。另有一些现象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等，但我们可以规定男性为1，女性为0，则非数量标志也可以用数量来表示。这些例子中所提到的量，尽管它们的具体内容是各式各样的，但从数学观点来看，它们表现了同一种情况，这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值，而在进行试验或测量之前，我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。 按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型：
1.离散型随机变量: 即在一定区间内变量取值为有限个，或数值可以一一列举出来。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。
2.连续型随机变量: 即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。
一个新的随机变量能被波莱尔可测函数定义来产生一个随机变量X.Y的累积分布函数是：
如果波莱尔函数可逆：
得到它的概率密度函数：
定义X为实数，在连续性随机变量里，让Y=X，
如果y< 0，那么 P(X≤y) = 0，
如果y≥ 0，
可以得到：