更新时间:2023-01-15 12:58
长度为零的向量是零向量,也即模等于零的向量,记作0。
在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的只有大小,没有方向的量叫做数量(物理学中称标量)。
向量的记法:印刷体记作粗体的字母(如a、b、u、v),书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB(并于顶上加→)。在空间直角坐标系中,也能把向量以数对形式表示,例如Oxy平面中(2,3)是一向量。
在物理学和工程学中,几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量,比如一个物体的位移,球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量,即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系,例如向量势对应于物理中的势能。
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化,得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间坐标系,也可以透过选取恰当的定义,在向量空间上介定范数和内积,这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。
长度为零的向量是零向量,也即模等于零的向量,记作0。
注意零向量的方向是无法确定的。但我们规定:零向量的方向与任一向量平行,与任意向量共线,与任意向量垂直。
零向量的方向不确定,但模的大小确定。但是注意向量与向量不能比较大小。例如,若向量a的模大于零,则向量a大于零向量的说法是错误的,因为实数之间可用比较大小,而向量之间不能比较大小。
零向量与任意向量的数量积为0。
1.a+o=a
2.a-o=a
3.a·o=o·a=o(a为非向量)
4.a+(-a)=0
(1)零向量的方向不是任意的,而是无法确定的
我们知道既有大小,又有方向的量叫做向量,而零向量概念只规定其大小为0,并没有谈及方向问题,那么零向量的方向到底怎样呢?按照向量的概念,零向量也是有方向的。由于受到有些教辅书的误导,不少的老师和学生都认为“零向量的方向是任意的”,我想这种说法的根据可能就是“零向量与任意向量平行”的规定,但是,李文明认为这种说法是错误的,因为两个非零向量平行是指同向或反向的两个向量,“零向量与任意向量平行”的这种规定,并没有规定零向量方向如何。当规定中的任意向量是非零向量,我们也不能认为零向量的方向与这个非零向量的方向相同或相反;当规定中的任意向量是零向量,我们更是无法确定两个零向量的方向。由此可见,零向量的方向应该是“不确定的”,或者说是无法确定的,也就是说给我们一个零向量,没有人能够指出它的方向。换句话说零向量(起点与终点重合的向量)是退化的向量,它已经退化到只能确定其大小,而无法确定其方向的一类特殊向量。
(2)零向量与任意向量都是平行的
这是平行向量概念中的明确规定,也就是说零向量与任意向量都是共线的;这种规定使得任意两个平面向量的位置关系只有两种:共线或不共线,二者必居其一,也就是说平面向量可以分为两类:一类是共线向量,一类是不共线向量;不共线的两个向量一定是两个非零向量。
例1,判断下列命题的真假
(1)a·b=a·c可以推出a=0或b=c
(2)a·(b·c)-(a·b)·c=0
(1)假
(2)假
例2,与a平行的单位向量的个数有:
答当a不是零向量时,有两个;当a是零向量是有无数个。所以答案是两个或无数个。