更新时间：2024-03-19 19:04
复数平面即是z=a+bi ，它对应的坐标为（a,b），其中，a表示的是复平面内的横坐标，b表示的是复平面内的纵坐标，表示实数a的点都在x轴上，所以x轴又称为“实轴”；表示纯虚数bi的点都在y轴上，所以y轴又称为“虚轴”。y
数学中，复数平面（complex plane）是用水平的实轴与垂直的虚轴建立起来的复数的几何表示。它可视为一个具有特定代数结构笛卡儿平面（实平面），一个复数的实部用沿着 x-轴的位移表示，虚部用沿着 y-轴的位移表示。
复数平面有时也叫作阿尔冈平面，因为它用于阿尔冈图中。这是以让罗贝尔·阿尔冈（1768-1822）命名的，尽管它们最先是挪威-丹麦土地测量员和数学家卡斯帕尔·韦塞尔（1745-1818）叙述的。阿尔冈图经常用来标示复平面上函数的极点与零点的位置。
复平面的想法提供了一个复数的几何解释。在加法下，它们像向量一样相加；两个复数的乘法在极坐标下的表示最简单——乘积的长度或模长是两个绝对值或模长的乘积，乘积的角度或辐角是两个角度或辐角的和。特别地，用一个模长为 1 的复数相乘即为一个旋转。
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，原点表示实数0。复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，反过来，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，所以复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的。
在 的情况下，以正实轴为始边，以表示 的向量 为终边的角的弧度数 称为 的辐角，记作 。这时有： 任意一个复数 有无穷多个辐角。如果 是其中的一个，那么， （ 为任意整数），就给出了z的全部辐角。在（ ）的辐角中，我们把满足 的 称为 的主值， 。当 时， ，而辐角不确定。
利用直角坐标与极坐标的关系： ，把 表示成称为复数的三角表示式。
利用欧拉公式 ，可以得到，称为复数的指数表达式。
17世纪时，英国数学家瓦里士已经意识到在直线上不能找到虚数的几何表示。
1797年，挪威的测量学家维塞尔向丹麦科学院递交论文《方向的解析表示，特别应用于平面与球面多边形的测定》，首先提出把复数用坐标平面上的点来表示，使全体复数与平面上的点建立了一一对应关系，形成了复平面概念。但当时没有受到人们的重视。
1806年，日内瓦的阿工在巴黎发表的论文《虚量，它的几何解释》，也谈到了复数的几何表示法。他用“模”这个名词来表示向量的长度，模这术语就源出于此。
伟大的德国数学家高斯是近代数学的奠基人之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。他在1799年已经知道复数的几何表示，在1799年、1815年、1816年对代数基本定理作出的三个证明中，都假定了复数和直角坐标平面上的点一一对应，但直到1831年他才对复平面作出详细的说明。他说：“迄至目前为止，人们对于虚数的考虑，依然在很大的程度上把虚数归结为一个有毛病的概念，以致给虚数蒙上一层朦胧而神奇色彩。我认为只要不把+1、-1、i 叫做正一、负一和虚一，而称之曰向前一，反向一和侧向一，那么这层朦胧而神奇的色彩即可消失。”此后，人们才接受了复平面的思想，有些人还把复平面称为高斯平面。
利用复数的几何表示法，复数又可以用坐标平面上的向量来表示，两个复数相加可以按照向量加法的平行四边形法则来进行，一个复数乘以i（或-i）相当于表示此复数的向量逆（或顺）时针旋转90。这就使得物理上的许多向量：力、速度、加速度等等，都可以借助于复数来进行计算，使复数成为物理学和其他自然科学的重要工具。