更新时间：2023-07-25 19:03
历史上由欧几里得集大成，建立比较完整的欧几里得几何，后来人们将其从二维、三维空间推广至更高维的(n维)空间。
粗略地讲，从线性代数的角度说，一个欧几里得空间就是一个实数域R上的有限维线性赋范内积空间。
而在微分几何学中，作为曲面概念的推广，一个(实)n维流形是一个赋予了微分结构的(实)拓扑流形。
一个(满足Hausdorff 分离性以及第二可数性的)拓扑空间，如果每一点都有一个邻域与n维欧氏空间中的开集同胚，则称这个拓扑空间为一个(实)拓扑流形。
n维欧几里得空间:
我们都知道平面中的勾股定理(毕达哥拉斯定理)，，我们还可以将其推广至三维空间:。同理，对于四维，五维甚至更高维的空间，我们都可以这么干。很自然地，我们可以通过与平面及三维空间的类比，大致了解n维欧几里得空间的性质。
n维流形:
。对于构成球形空间的每一个点，它在四维空间中的坐标都(x,y,z,w)都满足上述方程。这样，我们就把一个三维空间描述为一个4维球体的表面，正如方程描述半径为r的、3维球体的2维表面一样。
这就是外蕴几何学的做法。
而如果我们试图以广义相对论的思想研究我们所处空间的引力，我们显然不能这么做，我们无法确定我们的宇宙存在于一个未曾观测到的四维空间中。
但事实上，上文所述的3维球面也可以“内蕴”地定义。
如果用内蕴几何学的方法描述我们自身所处的空间，那么我们的处境就如同一个巨大二维曲面上的一个小蚂蚁。我们可以考虑将三维空间的信息用二维的方式表示。
在微积分中，如果f是一个从实数轴到实数轴的映射(函数)，对于它在二维笛卡尔坐标系的(曲线)图像，可以使用放大镜去看，放得越大，所观察的图像段就越像一条直线。对于曲面，也是同样的道理。
我们都知道世界地图是什么样的。考虑一个地图集，它由许多平面的地图页订成。例如有一页是法国地图，另一页是德国地图。因为这两个国家相邻，两张地图页会有重叠部分，对于重叠部分就需要说明，这一页的这一点，对应那一页的哪一点。例如斯特拉斯堡，在法国地图上，它可能位于地图右上角，而在德国地图，它可能就位于地图左下角。
虽然整个地图集描述的是一个3维宇宙中的一个对象，但是地球表面的几何学却只需从平面的图页上读出。这件事虽然不方便，但却是可能的。例如可以这样描述旋转:第三页的某一部分要移动到第七页的某一部分，虽然有点扭曲，却是相似的。
接下来牵扯到一些具体的数学概念。
地球的表面，如果进行适当的数学抽象，忽略无关细节，就是一个数学上的2维流形。
而我们所处的四维时空，就是一个四维流形，其内蕴曲率与能量的关系由爱因斯坦的引力场方程描述。