给定 和 ，我们希望构造一个函数 ，它把 映射到单位圆盘，把 映射到 。在这个证明概要中，我们假设 是有界的，且其边界是光滑的，就像黎曼所做的那样。记

其中 是某个（待确定的）全纯函数，其实数部分为 ，虚数部分为 。于是显然z0是f的唯一一个零点。我们要求对于 的边界上的 有 ，因此我们需要在边界上有 。由于 是全纯函数的实数部分，我们知道 一定是一个调和函数，也就是说，它满足拉普拉斯方程。

于是问题变为：存在某个实值调和函数 ，对所有的 都有定义，且具有给定的边界条件吗？狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要确立了u的存在，全纯函数的柯西-黎曼方程便允许了我们求出 （这个论证依赖于 是单连通的假设）。一旦构造了 和 ，我们还需要验证所得到的函数 确实满足所有需要的性质。