齐次

更新时间:2023-12-31 21:34

“齐次”从字面上解释是“次数相等”的意思,是微积分中一个比较常用的概念,英文表达是homogeneous

例证

齐次多项式齐次方程

定义:设一个关于x、y的m次方的函数f(x,y),如果存在任意一个非零的数t,使得f(tx,ty)=f(x,y),则这个函数称为关于x,y的m次齐次式。若上述函数f(x,y)=0,则这样的方程称为关于x,y的m次“齐次方程”。

2.齐次方程

在方程中只含有未知函数及其一阶导数的方程称为一阶微分方程。其一般表达式为:dy/dx+p(x)y(x)=q(x),其中p(x)、q(x)为已知函数,y(x)为未知函数,当式中q(x)=0时,方程可改写为:dy(x)/dx+p(x)y(x)=0;形式如这样的方程即称为:齐次一阶微分方程

形如y''+py'+qy=0的方程称为“齐次线性方程”,这里“线性”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是一次(这里的次数指的是每一项关于y'、y''等的次数。如:y'、y″是一次的,y'y''是二次的),而“齐次”是指方程中每一项关于自变量x的次数都相等(都是零次)。方程y''+py'+qy=x就不是“齐次”的,因为方程右边的项x不为零,因而就要称为“非齐次线性方程”。

另外在线性代数里也有“齐次”的叫法,例如f=ax^2+bxy+cy^2称为二次齐式,即二次齐次式的意思,因为f中每一项都是关于x、y的二次项。还有对线性方程组Ax=b而言,式中A是m×n维矩阵,x是n维列向量,b是m维列向量,若b=0,则方程组是齐次的,若b≠0,则方程组是非齐次的。

矩阵论里也有齐次的说法,比如矩阵的范数的齐次性:对任意复数k,以及任意m×n维复矩阵A,有||kA||=|k| ||A||(这里|k|是k的模)。

三角函数解法

适用于三角函数知值求值题。

如已知tanA=3,求sin2A+2cos2A的值。

将式子整体除以sin2A+cos2A ,相当于同时除以1

即得到一个齐二次式

再将方程上下同时除以cos2A,会得到一个2tanA+2 / tan2A+1的式子

最后将已知的tanA=3代入计算出结果即可

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