更新时间：2024-02-02 11:28
齐次微分方程（homogeneous differential equation）是指能化为可分离变量方程的一类微分方程，它的标准形式是 y'=f(y/x)，其中 f 是已知的连续方程。求解齐次微分方程的关键是作变换 u=y/x ，即 y=ux ，它可以把方程转换为关于 u 与 x 的可分离变量的方程，此时有 y'=u+xu'，代入原方程即可得可分离变量的方程 u+xu'=f(u) ,分离变量并积分即可得到结果，需要注意的是，最后应把 u=y/x 代入，并作必要的变形。
形如 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称微分方程。
齐次微分方程的特点是其右端项是以为变元的连续函数。
例如， 是齐次微分方程，它可以转化为：，即。
令或，
其中是新的未知函数，对两边求导，则有：，
将其代入，得：，
分离变量，得：
两边积分，得：，
求出积分后，再将回代，便得到方程的通解。
（1）作变换，将齐次方程转化为分离变量的微分方程；
（2）求解可分离变量的微分方程；
（3）用代替步骤（2）中所求通解中的（即变量还原），就可以得到原方程的通解。
如果有，使得，则显然也是方程的解，从而也是方程的解；如果，则方程变成，这是一个可分离变量微分方程。
求解方程。
解：令，则，，
原方程变为：，即；
分离变量可得：，
左右两端同时积分可得：，
将 代入，便可得到原方程的通解为：，其中 C 为任意常数。
求方程的通解。
解：令，则，，
原方程变为：，即；
分离变量可得：，
左右两端同时积分并化简得：，
将 代入，便可得到原方程的通解为：，其中 C 为任意常数。