更新时间：2024-05-21 14:49
ZF公理系统，提出者是Cantor、策梅洛，适用领域范围：集合论。在集合论创建的初期，Cantor是以所谓“朴素”的观点来看待集合的，他建立了广泛而深刻的集合理论，但是他没有明确对于已知集合，哪些操作是合法的。为了填补Cantor在理论基础上的不足，1908年策梅洛(Zermelo)提出了比较完整的公理，这些公理指明了对集合的哪些操作是合法的。后经过弗兰克尔（Fraenkel）的完善和补充，形成了ZF公理系统。
(1)外延公理（容积公理）：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有的元素相同，则它们是相等的。
(2)分离公理模式：“对任意集合X和任意对X的元素有定义的逻辑谓词P(z)，存在集合Y，使z∈Y 当且仅当z∈X而且P(z)为真”
也就是说：若X是一个集合，那么可以断定，Y={x∈X|P（x）}也是一个集合。
(3)配对公理：对任意a和b是对象，则存在一个集合{a，b}，其仅有的元素是a和b。也就是说：我们可以用一个集合Z={X,Y}来表示任给的两个集合X,Y，称之为X与Y的无序对。
(4)并集公理：任给一族M，存在UM（称为M的并）它的元素恰好为M中所含元素的元素。也就是说：我们可以把族M的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。
注：为了方便描述，定义族表示其元素全为集合的集合。
(5)幂集公理(子集之集公理)：对任意集合X，存在集合P（X），它的元素恰好就是X的一切子集。也就是说：存在以已知集合的一切子集为元素的集合。
(6)：无穷性公理存在归纳集。（存在一个集合，空集是其元素，且对其任意元素x，x+=x∪{x}也是其元素）
也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。
(7)替换公理模式（置换公理）：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合T，当x属于T时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合S，使得对于所有的x属于T，在集合S中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在T中的时候，那么它的值域可限定在S中。
(8)正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。
准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。”
以上8条公理组成了ZF公理系统，再加上选择公理，则组成了ZFC公理系统
(9)选择公理：也叫策梅洛公理，对于任意两两不交的集合族，存在集合C，使对所给的族中的每个集合X，集合X与C的交恰好只含一个元素。
公理1~8组成了ZF集合论公理系统，即著名的ZF公理体系。9作为与前8个独立的公理，在数学分析中经常用到。
公理1，2可以推出任何集合X有空子集，且空集唯一。
通过公理3，可以定义有序对（X,Y）：={{X,X}，{X,Y}}。
公理1~5可以限制新集合形成的可能，从而消除罗素悖论中的集合(存在集合A满足A不包含于自己)。
公理6，连同1~4，按照冯诺依曼的提出（根据皮亚诺公理系统对自然数的描述）可以建立自然书数集N0的标准模型。
公理7在建立分析学时并不使用之。
公理8与罗素悖论：
罗素悖论实际上构造了一个真类，而根据正则公理，真类被排除在ZF集合论的公理体系之外。也就是说，正则公理并没有真正解决罗素悖论，只是限制了数学所讨论的集合（更恰当的说法是类或是搜集）的范围，从而避开了罗素悖论。这是数学家们所找到的最好的解决办法：通过正则公理排除所有已知的矛盾。
注意正则公理并没有否定罗素悖论，因为如果通过其他公理能够构造出该悖论中的集合，那么仍然是矛盾。实际上不用正则公理，罗素已经替我们证明了这个集合是不存在的。