更新时间：2024-09-07 14:12
N体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样的运动空间。
天体力学中的基本力学模型。研究三个可视为质点的天体在相互之间万有引力作用下的运动规律问题。这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。在一般三体问题中，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下的运动方程都可以表示成3个二阶的常微分方程，或6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，现阶段还只能得到三体问题的16个积分，因此还远不能解决三体问题。
1687年，“近代物理学之父”牛顿第一次提出“三体问题”。其后300余年，“三体问题”的探究史串联起许多如雷贯耳的名字：欧拉、拉格朗日、庞加莱、希尔伯特……
在第二次数学家大会(1900年)上，二十世纪伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert)在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费马大定理，即代数方程 x^n+y^n=z^n 在n大于2时是没有非零整数解的；第二个就是所要介绍的N体问题的特例------三体问题。 值得一提的是，尽管这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的问题清单。但是在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1995年被美国普林斯顿大学(Princeton University)怀尔斯(Andrew Wiles)最终解决，这被公认为二十世纪最伟大的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了，难怪在问题解决后也有人遗憾地感叹一只会生金蛋的母鸡被杀死了。
由于庞加莱等科学家证实，不存在能够预测三体运动所有情况的“通用解”，因此很多科学家的研究重心放在了寻找三体运动的“周期解”上。
由于三体问题不能严格求解，在研究天体运动时，都只能根据实际情况采用各种近似的解法，研究三体问题的方法大致可分为3类：
第一类是分析方法，其基本原理是把天体的坐标和速度展开为时间或其他小参数的级数形式的近似分析表达式，从而讨论天体的坐标或轨道要素随时间的变化；
第二类是定性方法，采用微分方程的定性理论来研究长时间内三体运动的宏观规律和全局性质；
第三类是数值方法，这是直接根据微分方程的计算方法得出天体在某些时刻的具体位置和速度。
这三类方法各有利弊，对新积分的探索和各类方法的改进是研究三体问题中很重要的课题。
根据牛顿(Issac Newton)万有引力定理和牛顿第二定律，我们可以得到：
在三体问题中，作用于质点Qi的力是：
式中m为质点的质量；r为质点的位置矢量；rij为两质点间的距离；Fij为两质点间的作用力。三体问题的运动微分方程可写作：
式中为质点Qi的加速度。上式在直角坐标轴上的投影式为：
其中mi 是质点的质量，G是万有引力常数，rij 是 两个质点 mi 和 mj 之间的距离，而 qi1，qi2，qi3则是质点 mi 的空间坐标。所以三体问题在数学上就是这样九个方程的二阶常微分方程组再加上相应的初始条件。共19阶。H.布伦斯和H.庞加莱曾证明n体问题只有10个运动积分，即3个动量积分，3个关于质心运动的积分，3个动量矩积分和1个能量积分，而且它们都是代数式。应用这10个积分可将三体问题的18阶方程降低到8阶，再用“消去时间法”降低到7阶，又用“消去节线法”降低到6阶。如为平面三体问题则可降为4阶。
而N体问题的方程也是类似的一个 N2 个方程的二阶常微分方程组。
当 N=1 时，单体问题是个平凡的方程。单个质点的运动轨迹只能是直线匀速运动。当 N=2 的时候 (二体问题)，问题就不那么简单了。但是方程组仍然可以化简成一个不太难解的方程，任何优秀的理科大学生大概都能轻易解出来。简单来说这时两个质点的相对位置始终在一个圆锥曲线上，也就是说如果我们站在其中一个质点上看另一个质点，那么另一个质点的轨道一定是个椭圆，抛物线，双曲线的一支或者直线。二体问题又叫开普勒(Johannes Kepler)问题，它是在1710年被瑞士数学家约翰伯努利(Johann Bernoulli) 首先解决的。N体问题的提出大概可以追溯到上千年前，但是这一问题的第一个完整的数学描述(象使用上面这样的微分方程)是出现在牛顿的“自然哲学的数学原理”(Philosophiae Naturalis Prinicipia Mathematica，1687年出版)一书中。在他的著作中，牛顿成功地运用微积分证明了开普勒的天文学三大定律，但是奇怪的是在他的书里并没有给出二体问题的解，尽管这两者是紧密相关的，并且人们相信牛顿当时完全有能力自己给出二体问题的解。
至于三体问题或者更一般的N体问题(N大于二)，在被提出以后的二百年里，被十八和十九世纪几乎所有著名的数学家都尝试过，但是问题的进展是微乎其微的。尽管在失败的尝试中微分方程的理论被不断地发展成为一门更成熟的数学分支，但是对于这些发展的源头-----N体问题，人们还是知道的太少了。终于在十九世纪末期，也就是希尔伯特做他的著名演讲前几年，人们期待的重大突破出现了......
4种特殊情况：
1.三星成一直线，边上两颗围绕当中一颗转；
2.三星成三角形，围绕三角形中心旋转；
3.两颗星围绕第三颗星旋转；
4.三个等质量的物体在一条8字形轨道上运动。
N体问题的特殊解
【中文词条】限制性三体问题
【外文词条】restricted three-body problem
【作者】赵德滋
三体问题的特殊情况。当所讨论的三个天体中﹐有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比﹐小到可以忽略时﹐这样的三体问题称为限制性三体问题。一般地把这个小质量的天体称为无限小质量体﹐或简称小天体﹔把两个大质量的天体称为有限质量体。
把小天体的质量看成无限小﹐就可不考虑它对两个有限质量体的吸引﹐也就是说﹐它不影响两个有限质量体的运动。于是﹐对两个有限质量体的运动状态的讨论﹐仍为二体问题﹐其轨道就是以它们的质量中心为焦点的圆锥曲线。根据圆锥曲线为圆﹑椭圆﹑抛物线和双曲线等四种不同情况﹐相应地限制性三体问题分四种类型﹕圆型限制性三体问题﹑椭圆型限制性三体问题﹑抛物线型限制性三体问题和双曲线型限制性三体问题。若小天体的初始位置和初始速度都在两个有限质量体的轨道平面上﹐则小天体将永远在运动。
希尔按限制性三体问题研究月球的运动﹐略去太阳轨道偏心率﹑太阳视差和月球轨道倾角﹐实际上这就是一种特殊的平面圆型限制性三体问题。他得到的周期解﹐就是希尔月球运动理论的中间轨道。
在小行星运动理论中﹐常按椭圆型限制性三体问题进行讨论﹐脱罗央群小行星的运动就是太阳-木星-小行星所组成的椭圆型限制性三体问题的等边三角形解的一个实例。布劳威尔还按椭圆型限制性三体问题来讨论小行星环的空隙。抛物线型限制性三体问题和双曲线型限制性三体问题在天体力学中则用得很少。人造天体出现后﹐限制性三体问题有了新的用途﹐常用于研究月球火箭和行星际飞行器运动的简化力学模型，见月球火箭运动理论和行星际飞行器运动理论。
自“三体问题”被确认以来的300多年中，人们只找到了3组周期性特解。有两位科学家一口气找到了13组新的周期性特解，震惊了科学界。塞尔维亚物理学家米洛万·舒瓦科夫和迪米特拉·什诺维奇发现了新的13组特解。他们在著名学术期刊《物理评论快报》上发表了论文，描述了他们的寻找方法：运用计算机模拟，先从一个已知的特解开始，然后不断地对其初始条件进行微小的调整，直到新的运动模式被发现。这13组特解非常复杂，在抽象空间“形状球”中，就像一个松散的线团。
三体问题特解的族数被扩充到了16组。这一新发现令科学界欢欣鼓舞。多年来一直从事三体问题研究的美国科学家罗伯特·范德贝说，“我非常喜欢这一成果”。另一位美国科学家理查德·蒙哥马利说：“这些结果非常美妙，而且描述非常精彩。”中国科学家周海中表示，他们的成果加深了人们对天体运动的了解，促进了天体力学和数学物理的进一步发展，尤其是对人们研究太空火箭轨道和双星演化很有帮助。
2017年，上海交通大学教授廖世俊团队出现在这个赛道上，第一批就提出了695族周期解。之后他们不断增加周期解数量：2018年，1349族周期解；2021年，135445族周期解。
廖世俊团队利用CNS把“三体问题”周期解的数量提升了几个数量级，从两位数到10万+。
爆发的不仅仅是数量，还有对不同条件和状况的驾驭能力。第一批695族周期解，对应的是等质量的3个“天体”；第二批1349族周期解，限定条件是其中2个“天体”质量相等；第三批获得的135445族周期解，已经包含任意不等质量的3个“天体”了。
在2022年发表在New Astronomy上的最新论文中，廖世俊和自己的两名学生——在读博士生杨宇、暨南大学副教授李晓明一起，提出了一个获得“三体问题”周期解的路线图。按照这个路线图，人类迎来了能发现海量三体周期解的时代。
科幻作家刘慈欣的《地球往事》三部曲之一《三体》即是以此问题为基础而创作的。