更新时间：2023-10-13 14:54
三次插值法(cubic interpolation method)是一种多项式插值法，逐次以三次曲线φ(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3的极小点逼近寻求函数f(t)的极小点的一种方法.具体做法是：设t1
三次插值法是在1959年由Davidon首先提出来的，它是用三次插值多项式 逼近 ，而求 的近似最小点的一种迭代算法。
二次多项式逼近法也称抛物线法，它的原理是利用三个函数值来构造一个二次多项式逼近原来的函数。当函数的导数不难求得时，可以利用两个点处的函数与导数来构造三次多项式逼近原来的函数。
为了保证极小点在给定区间的内部，要求函数在a点的右边下降，而在b点的右边上升。如果用a、 b两点的导数表示，即
且
其几何意义如图1所示。
·
设三次多项式的一般形式为
其中 是四个待定系数，它可由a、b两点的函数值及其一阶导数列出四个方程式，则可求得四个系数值。因为
若步长从a点计算起，即 ，由此可得：
又若 ，得
联立解(3)～(6)式得出：
现要求在内的极小点作为原目标函数F(x)的极小点的一个近似，为此要求出方程：
在内的根，并根据极小点的充分条件，在此根处应有二阶导数大于零，即
式(11)的两个根
将式(13)代入式(12)，得
因为是求极小值，故根前应取正号，变换(13)式为：
得
当时，，是二次插值的情况；如，则是三次插值。