互质

更新时间:2024-03-09 03:07

互质是公约数只有1的两个整数,叫做互质整数。公约数只有1的两个自然数,叫做互质自然数,后者是前者的特殊情形。

定义

互质,若N个整数的最大公因数1,则称这N个整数互质。

例如8,10的最大公因数是2,不是1,因此不是整数互质。

7,11,13的最大公因数是1,因此这是整数互质。

5和5不互质,因为5和5的公因数有1、5。

1和任何数都成倍数关系,但和任何数都互质。因为1的因数只有1,而互质数的原则是:只要两数的公因数只有1时,就说两数是互质数。因为1只有一个因数所以1既不是质数(素数),也不是合数,无法再找到1和其他数的别的公因数了。1和-1与所有整数互素,而且它们是唯一与0互素的整数。

互质数的写法:如c与m互质,则写作(c,m)=1。

小学数学教材对互质数是这样定义的:“公约数只有1的两个数,叫做互质数。”

这里所说的“两个数”是指自然数

“公约数只有 1”,不能误说成“没有公约数。”

这里有一个误区,认为0不与任何数互质。严格地按照互质的定义来看0与1,-1均互质,通过任意有理数的表示方式a/b(a,b互质且b为正整数),同样可以得出0与1,-1均必须互质,否则0不是有理数。

判别方法

(1)两个不同的质数一定是互质数

例如,2与7、13与19。

(2)一个质数,另一个不为它的倍数,这两个数为互质数。

例如,3与10、5与 26。

(3)1不是质数也不是合数,它和任何一个自然数(1本身除外)在一起都是互质数。如1和9908。

(4)相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。

(5)相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。

(6)较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。

(7)两个数都是合数(二数差又较大),较小数所有的质因数,都不是较大数的约数,这两个数是互质数。

如357与715,357=3×7×17,而3、7和17都不是715的约数,这两个数为互质数。

(8)两个数都是合数(二数差较小),这两个数的差的所有质因数都不是较小数的约数,这两个数是互质数。如85和78。85-78=7,7不是78的约数,这两个数是互质数。

(9)两个数都是合数,较大数除以较小数的余数(不为“0”且大于“ 1”)的所有质因数,都不是较小数的约数,这两个数是互质数。如 462与 221

462÷221=2……20,

20=2×2×5。

2、5都不是221的约数,这两个数是互质数。

(10)减除法。如255与182。

255-182=73,观察知 73<82。

182-(73×2)=36,显然 36<73。

73-(36×2)=1,

(255,182)=1。

所以这两个数是互质数。

(11)2和任何奇数是互质数。

三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况:一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。

编程语言实现

C语言

int gcd(int a,int b)

{

if(b==0)

return a;

else

return gcd(b,a%b);

} //递归法求最大公约数,当最大公约数是1的时候,两个数互质

if(gcd(x,y)==1)那么x,y互质

Java语言

public int gcd(int a, int b) {

if(a

swap(a,b);

}

if(b==0)

return a;

else

return gcd(b,a%b);

}

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