更新时间：2022-08-25 14:19
亚历山大多项式(Alexander polynomial)扭结型的比扭结群更加易于计算的不变量。
设K是三球中的一个结。让X是无限循环盖的的结补的ķ。此覆盖物可以通过切割结补体沿获得塞弗特表面的ķ并与边界所得歧管的无穷多拷贝粘合在一起以循环的方式。在X上有一个覆盖变换t。考虑X的第一个同源性（用整数系数）表示 。转化t作用于同源性，所以我们可以考虑 一个模块结束 。这被称为亚历山大不变或亚历山大模块。
亚历山大证明，亚历山大的理想是非零的，总是主要的。因此亚历山大多项式总是存在的，显然是一个结不变量 。仅由一个字符串配置的结的亚历山大多项式是t的多项式，然后对于镜像结是相同的多项式。也就是说，它不能区分结和镜像之间的结。
JW Alexander在他的论文中给出了计算Alexander多项式的以下过程。
以n个交叉点为结点的方向图； 结点图有n+ 2个区域。要制定亚历山大多项式，首先必须创建一个大小为（n，n+ 2）的关联矩阵。所述N行对应于N道口，并且N+ 2列的区域。矩阵条目的值是0,1，-1，t，-t。
考虑与特定区域和交叉口相对应的条目。如果该区域不与交叉口相邻，则该条目为0.如果该区域与交叉口相邻，则条目取决于其位置。下表给出了从入境下交叉线的角度确定的该区域在该过境点的位置的入口。
除去从矩阵对应于相邻区域的两列，并制定出新的行列式Ñ通过Ñ矩阵。根据删除的列，答案将不同乘以 。为了解决这个模糊问题，把t的最大可能幂除以-1，必要时乘以-1，这样常数项是正的。这给了亚历山大多项式。
亚历山大多项式也可以从Seifert矩阵中计算出来。
亚历山大·福克斯（Alexander R. Fox）的作品被认为是结团的共同表现 并引入了非交换微分算子Fox（1961），它也允许计算 。有关更高亚历山大多项式的这种方法的详细论述可以在Crowell&Fox（1963）一书中找到。
亚历山大多项式是对称的： 为所有结K.
从定义的角度来看，这是庞加莱二元同构的表现 哪里 是分数场的商 通过，被认为是 模块，在哪里 是共轭 模块 即：作为一个交换团体，它是相同的 而是涵盖了转型行事 。
并以1：1为单位进行评估。 。
从定义的角度来看，这是一个表现，结补是由覆盖变换产生的同源圆 。更普遍如果是一个三维流形 它有一个亚历山大多项式定义为其无穷循环覆盖空间的阶理想。在这种情况下是等号的，等于扭力子群的顺序 。
众所周知，每一个对称的积分Laurent多项式都是1的单位，是一个结的亚历山大多项式（Kawauchi，1996）。
由于亚历山大的理想是主要的， 当且仅当结组的换向器子组是合适的（即等于它自己的换向器子组）。
对于拓扑切片结，亚历山大多项式满足Fox-Milnor条件哪里是一些其他的积分Laurent多项式。
亚历山大多项式的次数限制结类的两次。
迈克尔·弗里德曼（Michael Freedman）证明，3球体中的结是拓扑切片;即如果结的亚历山大多项式是平凡的（Freedman和Quinn，1990），则在4球中限定一个“局部平坦”的拓扑盘。
考夫曼（Kauffman，1983）描述了从物理模型导出的亚历山大多项式经由状态和的第一次构造。考夫曼（Kauffman，2001）对这些话题以及与物理学的其他关系进行了调查。
还有其他的表面和平滑的四维拓扑关系。例如，在某些假设下，通过进行一个手术来修改一个光滑的四维流形，包括去除一个二维圆环的一个邻域，并用一个与S交叉的结补代替它。结果是一个光滑的四维流形同构于原始的，但是Seiberg-Witten不变量已经被与结的亚历山大多项式相乘而修改。
已知具有对称性的节点具有受限的亚历山大多项式。（Kawauchi 1996）中的对称部分。尽管如此，亚历山大多项式可能无法检测到一些对称性，如强可逆性。
如果节点补足了圆上的光纤，那么结的亚历山大多项式就是已知的monic（最高和最低阶项的系数等于）。其实，如果是一个纤维束在哪里 是结的补充，让表示单值，然后哪里 是同源性的诱导图。
亚历山大证明了亚历山大多项式满足一个绞合关系。约翰·康威后来以不同的形式重新发现了这一点，并表明绞线关系和对结的价值选择足以确定多项式。Conway的版本是一个z整数系数的多项式，表示为并称为Alexander-Conway多项式（也称为Conway多项式或Conway-Alexander多项式）。
假设我们有一个定向链接图，其中 是如图1中所示，通过交叉和平滑图的特定交叉点的局部区域上的变化而产生的链接图。
这里是康威的关系：
（其中O是Unkn的任何图）
与标准亚历山大多项式的关系由下式给出 。这里 必须正确地归一化（乘以）来满足绞线关系 。注意这个关系在t给出了一个Laurent多项式。
计算三叶草的Conway多项式的例子见结理论。
Ozsvath&Szabo（2004）和Rasmussen（2003）使用伪全纯曲线将一个称为结Floer同源性的bigraded abel组联系到每个同位素结的类。结Floer同源的分级欧拉特征是亚历山大多项式。而亚历山大多项式给出了一个结的下界，Ozsvath&Szabo（2004b）证明结Floer的同源性检测到该属。类似地，虽然亚历山大多项式阻碍了一个在结点附近的结补体纤维化，但是Ni（2007）表明Floer的同源性完全决定了当一个结补体纤维在圆上。结Floer同源群是Heegaard Floer同源性不变族的一部分;参见Floer同源进一步讨论。