更新时间:2022-08-25 14:52
圆上任意两点间的部分叫做弧。直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫半圆。大于半圆的弧叫优弧。小于半圆的弧叫做劣弧。
圆上任意两点间的部分叫做弧。用符号” ”表示弧。例如,图1中以 为端点的弧.记作 ,读作弧 。
设半径为 的圆中, °的圆心角所对的弧长为 ,则弧长公式为: .
大于半圆的弧叫做优弧。例如图1中的 就是优弧.读作弧 。
小于半圆的弧叫做劣弧。图1中的 就是劣弧,读作弧 。
没有注明时,所说的弧一般是指劣弧。
在一个圆中,任意一条直径的两个端点,把圆分成两条相等的弧。其中每一条弧叫做半圆。
(2)在同圆或等圆内,如果圆心角不等,那么圆心角大的所对的弧大;所对的弦大;所对弦上的弦心距小(逆命题也成立)。
圆内、直径、弦、弧的性质
(1)在圆内,如果直径垂直弦,那么这直径平分这弦;平分这弦所对的弦。
(2)在圆内,如果直径平分弦(这弦本身不是直径),那么这直径垂直这弦;并平分这弦所对的弧。
(3)在圆内,如果直径平分弧,那么这直径垂直平分这弧所对的弦。
(4)在圆内,弦的垂直平分线通过圆心。
(5)在圆内,二平行弦所夹的弧相等。
命题1 在相等圆中,等弦截出相等的弧,优弧等于优弧,劣弧等于劣弧。
设:圆ABC与圆DEF相等,弦AB等于弦DE,切分的优弧为ACB和DFE,劣弧为AGB和DHE。
求证:优弧ACB等于优弧DFE,劣弧AGB等于劣弧DHE。
证明:令:K,L分别为两圆的圆心,连接AK、KB、DL和LE 。因为圆相等,那么半径相等,所以:AK、KB分别等于DL、LE,且第三边AB等于第三边DE。所以:∠AKB等于∠DLE 。又,因为当它们是圆心角时,它们所对的弧相等,所以:弧AGB等于弧DHE。
又:圆ABC也等于圆DEF。
所以:弧ACB也等于弧DFE。
所以:在相等圆中,等弦截出相等的弧,优弧等于优弧,劣弧等于劣弧。
命题2 在相等圆内,相等的圆周角或圆心角所对的弧相等。
设:ABC、DEF为相等圆.在其内作相等圆心角和圆周角.即圆心角∠BGC、∠EHF,圆周角∠BAC、∠EDF。
求证:圆周角∠BKC等于圆周角∠ELF。
证明: 令:连接BC、EF。
既然圆ABC等于圆DEF,那么半径相等。
所以:线段BG、GC就等于线段EH、HF.在G点的角等于在H点的角。所以:第三边BC等于第三边EF。
又因为在A点的角等于在D点的角,所以:弓形BAC相似于弓形EDF,它们立于相等线段上。
因为,在相等线段上的相似弓形彼此相等,所以,弓形BAC等于弓形EDF。
又因为,整圆ABC也等于整圆DEF,所以,余弧BKC等于余弧ELF。
所以:在相等圆内,相等的圆周角或圆心角所对的弧相等。
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