更新时间：2024-04-03 15:41
形如y'+P（x）y=Q(x)y^n的微分方程，称为伯努利微分方程，其中n≠0并且n≠1，其中P（x），Q（x）为已知函数，因为当n=0，1时该方程是线性微分方程。它以雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）命名，他在1695年进行了研究。伯努利方程是特殊的，因为它们是具有已知精确解的非线性微分方程。 伯努利方程的特殊情况是逻辑微分方程。
形如y'+P（x）y=Q(x)y^n的微分方程，称为伯努利微分方程，其中n≠0并且n≠1，其中P（x），Q（x）为已知函数，因为当n=0，1时该方程是线性微分方程。它以雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）命名，他在1695年进行了研究。伯努利方程是特殊的，因为它们是具有已知精确解的非线性微分方程。 伯努利方程的著名特殊情况是逻辑微分方程。
伯努利微分方程可以把变量替换成为线性微分方程，将伯努利微分方程两端除以，得
作变量替换，则。代入上式，有：
这是以z为未知函数的一阶线性微分方程，由此方程解出z，再由可得伯努利微分方程的解。
注意，对于n=0和n = 1，伯努利方程是线性的。 对于n≠0和n≠1，替换 将任何伯努利方程调整到线性微分方程。 例如：
让我们考虑以下微分方程：
以伯努利形式（用n = 2））重写它：
现在，用 我们得到：
，它是一个线性微分方程。
作为线性微分方程的解：
那么我们有
是下面方程的解
对于每个这样的微分方程，都有>0，我们有y恒等于0。