更新时间：2022-08-25 13:46
代数是数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。
余代数(coalgebra)是代数的对偶概念。
设C是R双模，Δ是一个R模同态，被称为余乘法或对角映射；ε是一个R模同态C→R，称为余单位或增广。则R上的余代数是指满足以下二交换图的三元组(C,Δ,ε)：
代数是数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。参见，如： 布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES);四元数(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。
设K为一交换体. 把K上的向量空间E叫做K上的代数，或叫K-代数，如果赋以从E×E到E中的双线性映射.换言之，赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构：
——记为加法的合成法则(x，y)↦x+y;
——记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;
——记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则;
这三个法则满足下列条件：
a) 赋以第一个和第三个法则，E则为K上的一个向量空间;
b) 对E的元素的任意三元组(x，y，z)，有
x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;
c)对K的任一元素偶(α，β)及对E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy)。
设A为一非空集合。 赋予从A到K中的全体映射之集ℱ(A，K)以如下三个法则：
则ℱ(A， K)是K上的代数， 自然地被称为从A到K中的映射代数.当A=N时， 代数ℱ(A，K)叫做K的元素序列代数.
无论是在代数还是在分析中，代数结构都是最常见到的结构之一。十九世纪前半叶末，随着哈密顿四元数理论的建立，非交换代数的研究已经开始. 在十九世纪下半叶，随着M.S.李的工作，非结合代数出现了. 到二十世纪初，由于放弃实数体或复数体作为算子域的限制，代数得到了重大扩展。
与外代数，对称代数，张量代数，克利福德代数等一起，代数结构在多重线性代数中也建立了起来。
1907 年Wedderburn 对半单代数进行了研究，给出了著名的结构定理。1927 年Emil Artin 将Wedderburn 的研究结果推广到了具有有限条件的环上( 升链条件、降链条件).之后Jacobson 又系统地研究了根论,得到了研究一般的结合代数的框架。考察某类代数W 的结构，先给一些特殊的子类U，取R∈W，考虑R 的理想 ，满足 。令 ，可称N 为R 的根，这样R/N 可表示成U 中代数系统的亚直和。以上便是代数的经典的结构理论。
在表示方面，1958 年Morita 用投射生成子刻画了两个环上模范畴的等价理论，此理论后来被称为模范畴间的Morita 等价理论。接着对表示理论的研究，得到了些表示论中的经典结果，一个有限维代数的模范畴与它的基代数的模范畴是等价的。Artin 代数的唯一分解定理成为考虑表示类型的基础。Auslander 和Reitenl在”Artin 代数的表示理论”牛!给出了quiver 的概念、性质以及关于有限quiver 的路代数的定义和相关结论。P.Gabriel及其学派发展了quiver 的方法。P.Gabriel 通过Coxeter 函子实现了有限维遗传代数的分类。余代数理论似乎可以由代数理论对偶得到，但由于其自身的特性，余代数的理论及其证明不能完全通过对偶方法获得。
1975年Kaplansky证明了任何余代数C是(唯一的)不可分解子余代数的直和；且当C是余可换时，其不可分解分量是既约的。1977年，Takeuchi运用余张量积和cohom函子把代数上模范畴的Morita等价推广成为余代数上余模范畴的Morita-Takeuchi等价。1995年SusanMontgomery证明了每个余代数C是link-不可分解余代数的直和，其直和加项对应于C的单余模的Extquiver的连通分量。1996年C.Nastasescu,B.Torrecillas和Y.H.Zhang研究了余代数的整体维数并且讨论了整体维数小于或等于1的一类余代数。这一类余代数，包含所有的余半单余代数，称为遗传余代数。他们还给出了许多无限维遗传余代数的例子。
1994年Nastasescu和Torrecillas给出了余幂等子余代数，局部化子余范畴以及余平坦态射的一些性质，并建立余代数的余幂等子余代数的集合与局部化子余范畴的集合之间的一一对应。1997年WilliamChin和SusanMontgomery引入基本余代数，证明了对任何余代数c，都存在一个结合基本余代数B，使得对于C的余模范畴等价于对于B的余模范畴。quiver的路余代数是一种特殊的余代数。W.Chin和S.MontgomeryCibils和Rosso进一步对有限的路代数深入研究并得到相关结论。同年，Chin和Montgomery 考虑了无限quiver的路余代数结
构,并研究了其性质。
在此基础上，1998年Torrecillas通过定义局化双模及完备局化双模，建立了完备局部化双模的等价类集合与余平坦单态射的同构类集合之间的一一对应，且给出了备局化双模与Morita-Takeuchi等价的关系，以及关于余平坦单的其它性质。而余代数的余平坦单和代数的平坦满对偶，在此基础上，考虑并研究与余代数的余平坦单和代数平坦满相关的性质以及讨论这些性质。