更新时间：2024-01-31 14:16
元流伯努利方程也称为元流的能量方程，是流体运动微分方程沿流线的积分。
恒定流动u=u(x、y、z) ，p=p(x、y、z),质量力以U(x、y、z)表示，理想流体运动微分方程沿流线积分，得：
------（1）
这个方程就称为伯努利积分。该式表明，在有势力作用下常密度理想流体恒定流动中同一条流线上的U-p/ρ-u^2/2值保持不变。一般情况下，积分常数C的值随流线的不同而变化。
若流动是在重力场中，作质量力只有重力，所选z轴垂直向上，则质量力的势函数U=-gz，代入上式，得
----（2）
重力场中不可压缩流体的伯努利积分式称为伯努利方程。
元流的伯努利方程各项分别表示了单位重量流体的三种不同形式能力形式。z、p/ρg物理意义是单位重量流体具有的位能和压能，z+p/ρg是单位重量流体具有的总势能，u^2/2g是单位重量流体具有的动能。三项之和z+p/ρg+u^2/2g是单位重量流体具有的机械能。上式（2）表明，沿同一元流（同一流线），单位重量流体具有的机械能守恒。故伯努利方程也称为能量方程。
能量方程中的各项具有长度量纲，可以用水头表示。z表示位置水头，p/ρg是压强水头，u^2/2g是速度水头，三项之和z+p/ρg+u^2/2g称为总水头。上式（2）表明，沿同一元流（同一流线）各断面的总水头是不变的。
实际流体具有粘性，流动过程中因质点之间相对运动而产生流动阻力，克服阻力做功，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能散失，散失的能量称为水头损失。
根据能量守恒原理，便可得到粘性流体元流的伯努利方程，如下：