内接四边形 - 知识百科

内接四边形

更新时间：2024-05-12 14:17

在同圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，拥有很多有用的性质。圆内接四边形的面积为√[﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚﹙p-d﹚]，[p=1/2﹙a+b+c+d﹚]，此公式叫婆罗摩笈多公式。

简介

在同圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，拥有很多有用的性质。

性质定理

以圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，延长AB至E，AC、BD交于P，则：

▶圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°

▶圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC

▶圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB

▶同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD

▶圆内接四边形对应三角形相似：△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）

▶相交弦定理：AP×CP=BP×DP

▶托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD

判定定理编辑

1、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆；

2、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆；

3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆；

4、若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆；

5、如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆；

面积计算编辑

S圆内接四边形=√[﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚﹙p-d﹚]，[p=1/2﹙a+b+c+d﹚]，此公式叫婆罗摩笈多公式。

熟悉海伦公式的可以看出，这和海伦公式三角形面积S=√[p ﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚] （p=1/2﹙a+b+c﹚）具有惊人的相似，其实海伦公式就是婆罗摩笈多公式d=0的特殊形式。