更新时间:2023-01-07 16:05
勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析,特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测;勒贝格可测集A的体积或者说测度记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的,但是即使如此,在假设选择公理成立时,R的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题,它是选择公理的一个结果。
设P为实线上所有有界半封闭区间[a,b)类。S为P生成的σ环,其元为实线的博雷尔集。μ为P上集函数,定义为μ([A,b))=b-a,可扩张为S上集函数。若上的为S上的μ的完备化,则的元称为勒贝格可测集,称为勒贝格测度。
上的勒贝格测度有如下的性质:
1. 如果A是区间 的笛卡尔积,那么A是勒贝格可测的,并且 其中 表示区间I的长度。
2. 如果A是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并,那么A也是勒贝格可测的,并且λ(A) 就是这些可测集的测度的和(或无穷级数的和)。
3. 如果A勒贝格可测的,那么它的补集(相对于R)也是可测的。
4. 对于每个勒贝格可测集A,λ(A) ≥ 0 。
5. 如果A与B是勒贝格可测的,且A是B的子集,那么λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。)
6. 可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。 (由2,3 可得)。
8. 如果A是一个勒贝格可测集,并有 λ(A) = 0 (零测集),则A的任何一个子集也是零测集。
9. 如果A是勒贝格可测的,x是R中的一个元素,A关于x的平移(定义为 )也是勒贝格可测的,并且测度等于A.
10. 如果A是勒贝格可测的, ,则 关于 的扩张(定义为 )也是勒贝格可测的,其测度为 。
11. 更广泛地说,设T是一个线性变换,A是一个R的勒贝格可测子集,则T(A)也是勒贝格可测的,其测度为 。
12. 如果A是R的勒贝格可测子集,f是一个A到R上的连续单射函数,则f(A)也是勒贝格可测的。
简要地说, 的勒贝格可测子集组成一个含所有区间及其笛卡尔积的σ代数,且λ是其上唯一的完备的、平移不变的、满足 的测度。
勒贝格测度是σ-有限测度。
勒贝格在1901年描述勒他的测度,随后在第二年他描述了勒贝格积分。二者都是作为他在1902年的博士论文的一部分发表的。
1.如果A是一个区间 , 那么其勒贝格测度是区间长度 。开区间 的长度与闭区间一样,因为两集合的差是零测集。
2. 如果A是区间 和 的笛卡尔积,则它是一个长方形,测度为它的面积 。
的子集是零测集,如果对于每一个ε > 0,它都可以用可数个n个区间的乘积来覆盖,其总体积最多为ε。所有可数集都是零测集。
如果 的子集的豪斯多夫维数小于n,那么它就是关于n维勒贝格测度的零测集。在这里,豪斯多夫维数是相对于 上的欧几里得度量(或任何与其等价的利普希茨度量)。另一方面,一个集合可能拓扑维数小于n,但具有正的n维勒贝格测度。一个例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集,它的拓扑维数为0,但1维勒贝格测度为正数。
为了证明某个给定的集合A是勒贝格可测的,我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B,与A只相差一个零测集,然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。
勒贝格测度的现代结构,基于外测度,是卡拉特奥多里发明的。
固定 , 中的盒子是形如 的集合,其中 。这个盒子的体积 定义为
对于任何 的子集A,我们可以定义它的外测度 :
是可数个盒子的集合,它的并集覆盖了 。然后定义集合A为勒贝格可测的,如果对于所有集合 ,都有:
这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。勒贝格测度定义为λ(A) = λ(A)对于任何勒贝格可测的集合A。
根据维塔利定理,存在实数 的一个勒贝格不可测的子集。如果A是的任何测度为正数的子集,那么A便有勒贝格不可测的子集。
在所定义的集合上,博雷尔测度与勒贝格测度是一致的;然而,仍然有更多勒贝格可测的集合不是博雷尔可测的。博雷尔测度是平移不变的,但不是完备的。
哈尔测度可以定义在任何局部紧群上,是勒贝格测度的一个推广(带有加法的是一个局部紧群)。
豪斯多夫测度(参见豪斯多夫维数)是勒贝格测度的一个推广,对于测量的维数比n低的子集是很有用的,例如内的曲线或曲面,以及分形集合。不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数的概念混淆。
可以证明,在无穷维空间不存在勒贝格测度的类似物。