测度

更新时间:2022-09-17 22:45

测度,数学术语。数学上,测度(Measure)是一个函数,它对一个给定集合的某些子集指定一个数,这个数可以比作大小、体积概率等等。传统的积分是在区间上进行的,后来人们希望把积分推广到任意的集合上,就发展出测度的概念,它在数学分析概率论有重要的地位。

定义

定义1

构造一个集函数,它能赋予实数集簇М中的每一个集合E一个非负扩充实数。我们将此集函数称为E的测度。

定义2

设R是集X的,ρ是R上非负可数加性集函数,且满足ρ(∅)=0,则称ρ是定义在(X,R)上的一个(正)测度。

相关概念

Γ中的集合是可测集,不在Γ中的集合是不可测集。特别地,若ρ(X)=1,则称ρ为概率测度

性质

下面的一些性质可从测度的定义导出:

单调性

测度的单调性: 若和为可测集,而且,则 。

可数个可测集的并集的测度

若 为可测集(不必是两两不交的),则集合的并集是可测的,且有如下不等式(“次可列可加性”):

如果还满足并且对于所有的 , ,则如下极限式成立:

可数个可测集的交集的测度

若 为可测集,并且对于所有的 , ,则 的交集是可测的。进一步说,如果至少一个 的测度有限,则有极限:

如若不假设至少一个 的测度有限,则上述性质一般不成立。例如对于每一个 ,令

这里,全部集合都具有无限测度,但它们的交集是空集。

完备性

一个可测集称为零测集,如果。零测集的子集称为可去集,它未必是可测的,但零测集自然是可去集。如果所有的可去集都可测,则称该测度为完备测度

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度:考虑的所有这样的子集 F,它与某个可测集 E仅差一个可去集,也就是说 E与 F的对称差包含于一个零测集中。由这些子集 F生成的σ代数,并定义的值就等于。

例子

下列是一些测度的例子(顺序与重要性无关)。

计数测度定义为的“元素个数”。

一维勒贝格测度是定义在 的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足 的唯一测度。

Circular angle测度是旋转不变的。

局部紧群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广,而且也有类似的刻划。

恒零测度定义为 ,对任意的 。

每一个概率空间都有一个测度,它对全空间取值为1(于是其值全部落到单位区间[0,1]中)。这就是所谓概率测度。见概率论公理。

其它例子,包括:狄拉克测度、博雷尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度贝尔测度拉东测度

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