设F是一个域，F上的向量空间L上有一个运算〔，〕：L×L→L，如果满足(1)对任意的x，x′，y，y′∈L和a∈F，〔x+ax′，y〕=〔x，y〕 +a〔x′，y〕，〔x，y+ay′〕=〔x，y〕 +a〔x，y′〕; (2)对每个x∈L，〔x，x〕=0; (3)对任意 x，y，z∈L，〔x〔y，z〕〕+〔y，〔z，x〕〕+〔z，〔x，y〕〕=0，则称L是一个李代数，运算〔，〕称为方括号运算或李乘运算，运算〔，〕满足的3个条件分别称为双线性性、反交换性(CharF≠2)和雅可比恒等式。设L，L′是两个李代数，线性映射φ：L→L′如果满足对任意的x，y∈L，φ(〔x，y〕)=〔φ(x)，φ(y)〕，则称φ是李代数的同态，类似的有单同态、满同态、同构等概念。李代数L的子空间K如果在L的运算之下也是一个李代数，则称为L的李代数。李代数L的子代数K如果还满足对每个x∈L，y∈K，〔x，y〕∈K，则称K是L的理想。域F上的全体n阶矩阵的集合g(F)在运算〔x，y〕=xy-yx之下也做成一个李代数，称为一般线性李代数。g(F)的任意一个子代数称为线性李代数，迹为0的ι+1阶矩阵全体做成的线性李代数称为特殊线性李代数，记作Aι。此外还有3类重要的线性李代数Bι，Cι，Dι。Aι，Bι，Cι，Dι称为典型李代数。每一个有限维李代数都同构于某个线性李代数。设L是一个李代数，如果存在x，y∈L，〔x，y〕≠0，而且L除了{0}和L本身以外没有别的理想，则称L为单李代数。设L是一个李代数，I，J是L的理想，设〔I，J〕是由{〔x，y〕 |x∈I，y∈J}张成的L的子空间，则〔I，J〕是L的理想。令L=L，L=〔L，L〕，L=〔L，L〕，如果存在正整数n，使得L={0}，则称L是可解李代数。每个李代数L都存在一个最大的可解的理想，这个理想称为L的根基，记作RadL。如果L≠{0}，RadL=0，则称L是半单的。单李代数是半单的。设L是一个李代数，定义L=L，L=〔L，L〕，L=〔L，L〕，若存在正整数n，使得L={0}，则称L是幂零的。设V是域F上的向量空间，gl(V)是V的所有线性变换在运算[x，y]=xy-yx下做成的李代数，L是gl(V)的有限维幂零子代数，则存在V的基{e1，…，en}，令Vi=，i=1，…，n，V0= {0}，使得∀ x∈L，v∈Vi，xVi∈Vi+1。这个结论称为恩格尔定理。设域F的特征为零，L是gl(V)的有限维可解子代数，则存在V的基{e1，…，en}，使得∀ X∈L， v∈V1，Xv∈Vi，Vi=，i=1，…，n。这个结论称为李定理。特征零的代数闭域上的有限维半单李代数都可以写成有限个理想的直和，每个理想都是单的。复数域或一般的特征为零的代数闭域上的单李代数在同构的意义下只有典型李代数Al，Bl(l≥2)，Cl(l≥3)，Dl(l≥4)和5个例外的李代数F4，G2，E6，E7，E8。实数域上的单李代数的分类工作也已完成。特征不为零的域上的单李代数的分类在80年代有了重要的进展，对一类称为限制的单李代数的分类已基本完成。自60年代以来，许多数学家开始了对无限维李代数的研究，并取得了许多重要的成果。设L是一个李代数，一个李代数同态φ：L→g称为L的一个表示，V称为一个L-模，若V是有限维向量空间，则称这个表示是有限维的，否则称为无限维的。

半单李代数是一类重要的李代数。设L为域F上的李代数，R为L的根基。若R={0}，则L称为半单李代数。在L是复李代数时，若L为有限维李代数，则在L中必存在半单子代数C，使得L=C+R为空间直和，其中R为L的根基，这个分解称为列维分解，它不惟一。列维分解指出，要弄清楚一般李代数的结构，必须弄清楚可解李代数和半单李代数的结构。关于可解李代数，知道得甚少，但是复半单李代数的结构是非常清楚的。

卡茨是一名美国数学家。生于波兰克热梅涅茨，卒于美国加利福尼亚。1937年获利沃夫的杨·卡西米尔大学博士学位.1938年，到美国约翰斯·霍普金斯大学做研究工作.1943年入美国籍.1939—1961年，任教于康奈尔大学，1943年任助理教授，1947年起任教授.1961—1981年，任洛克菲勒大学数学教授，后转到南加利福尼亚大学，直至去世.他是美国全国科学院的院士、美国艺术与科学学院院士，还是荷兰皇家艺术与科学学院和挪威皇家科学院的院士.1965—1966年，还曾任美国数学会副主席.

卡茨的数学工作包括概率论、数论和数学物理等.1940年，他在欧拉求和公式方面曾与爱尔特希(Erdo¨s，P.)合作取得一定成果.第二次世界大战后，他开始研究连续函数空间上关于维纳测度的泛函分布.他研究了一类泛函在做布朗运动的粒子所有轨道上的平均值的计算.他证明了n次多项式，其系数为具有相同正态分布的均值为零的独立随机变量，有实根平均值(2/π)logn，证明过程中引入了一个计算随机函数实根平均数的一般公式，现称为赖斯-卡茨公式.他证明了可用连续函数空间的维纳测度与积分理论研究一大类算子的特征值的渐近性质并得到了位势理论中的新的公式，他还用维纳积分解微分方程.1946年，他给出了埃伦弗斯特模型的完整解.他还系统研究过一维气体模型，与人合作引入了球面模型，给出了解伊辛二维模型的组合方法.晚年他主要研究一定程度上由算子谱确定算子本身的逆问题.他与人合作研究了量子力学中反散射问题的离散方法，并首次给出了周期n体托塔问题的完整解.他曾在1949年和1968年，两次获美国数学协会的查文尼特奖，1978年，获美国数学会和美国工业与应用数学会联合颁发的伯克霍夫应用数学奖。

加拿大数学家。生于英国。1962年获萨斯喀彻(Saskatchewan)大学学士学位，1964年、1966年先后在加拿大多伦多大学获硕士、博士学位。1966年任萨斯喀彻大学助理教授，1976年晋升为教授。1989年转阿尔伯达大学任教。1980年，他被选为加拿大皇家学会会员。他还曾多次到美国、德国、法国、印度的多所大学和研究机构讲学。

穆迪主要研究李群、李代数和表示理论，近年来其兴趣在非周期序的数学，特别是非周期结晶。从1967年开始，他与卡茨(Kac，V.)同时而相互独立地发展了一类新的无限维李代数理论，其中最重要的一类现称为“卡茨-穆迪代数”，这类代数对物理有重要影响，特别是对粒子物理、场论和弦理论等.1994年，他与卡茨共获威格纳奖章.著作有《单李代数表示的主权重数表》(1985)和《仿射代数、权重数和分支规划》(1990;与人合著)等。