更新时间：2023-11-29 14:42
双曲正切函数（hyperbolic tangent function）是双曲函数的一种。双曲正切函数在数学语言上一般写作tanh，也可简写成th。与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正切函数便是其中之一。
双曲正切函数（tanh）是双曲正弦函数（sinh）与双曲余弦函数（cosh）的比值，其解析形式为：
考虑不等关系：可知，双曲正切函数的定义域为实数域。
导数
双曲正切的导数是双曲余弦的平方的倒数，即：
积分
双曲正切函数的不定积分有如下形式：
式中为常数。
泰勒展开
双曲正切函数的泰勒展开式为：
式中为伯努力数（Bernoulli number）。
反函数
双曲正切函数的反函数是反双曲正切函数，其定义为：
函数的定义域为开区间（-1,1），它在开区间（-1,1）内是单调增加的奇函数，图形关于原点对称。
与其他双曲函数的关系
除了双曲正切函数的定义式外，双曲正切函数还有以下式子。
1、和角公式：
2、差角公式：（和角公式的推导）
3、二倍角公式：（和角公式的推导）
4、恒等式：
双曲正切函数的图形夹在水平直线y=1及y=-1之间，且当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y=1，而在第三象限内接近于直线y=-1。
即双曲正切函数的值域是(-1,1)。
证明：
当 时，由于 ,则 。
当 时，由于 ，则 。
双曲正切函数是奇函数，它的图形通过原点且关于原点对称。
下面是证明：首先明确双曲正切函数的定义域是 。
。
而
得出，则证明出双曲正切函数为奇函数。
无论是双曲正切函数y=tanhx，还是双曲正弦函数y=sinhx、双曲余弦函数y=coshx，它们都不是周期函数。
双曲正切函数在区间 内是单调增加的。
证明如下：
对双曲正切函数求导。
而
得出双曲正切函数的导数为： 。而无论x取何值，双曲余弦函数的值始终大于等于1，得出x在 内大于0，单调递增。
双曲正切函数在 上是凹函数，在 上是凸函数。
根据定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶和二阶导数，那么
（1）若在（a,b）内 ,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
（2）若在（a,b）内 ,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
则给双曲余弦函数二次求导，得
而双曲余弦函数恒大于0，而双曲正弦函数在x<0时，它的值小于0，x>0时，它的值大于0，即得出上述结论。