4.设在定义域上可导，若在上为奇函数，则在上为偶函数。

即对其求导f'(x)=[-f(-x)]'(-x)'=-f'(-x)(-1)=f'(-x)

若用-x代替x,函数保持不变，则称这样的函数为偶函数(拉丁文functionespares)。欧拉列举了三类偶函数和三类奇函数，并讨论了奇偶函数的性质。法国 数学家达朗贝 尔(J.R.D.Alembert，1717-1783)在狄德罗(D.Diderot,1713-1784)主编的《大百科全书》第7卷（1757年出版）关于函数的词条中说：“古代几何学家，更确切地说 是古代分析学家，将某个量x的不同次幂称为x的函数．”类似地，法国数学家拉格朗日《解析函数论》（1797）开篇中也说，早期分析学家们使用“函数”这个词，只是表示“同一个量的不同次幂”，后来，其涵义被推广，表示“以任一方式得自其他量的所有量”，莱布尼茨和约翰· 伯努利最早采用了后一涵义。在1727年的论文中，欧拉在讨论奇、偶函数时确实没有涉及任何超越函数。因此，最早的奇、偶函数概念都是针对幂函数以及相关复合函数而言，欧拉提出的“ 奇函数”、“偶函数”之名显然源于幂函数的指数或指数分子的奇偶性：指数为偶数的幂函数为偶函数， 指数为奇数的幂函数为奇函数。

1748年，欧拉出版他的数学名著《无穷分析引论》，将函数确立为分析学的最基本的研究对象。在第一章，他给出了函数的定义、对函数进行了分类，并再次讨论了两类特殊的函数：偶函数和奇函数。欧拉给出的奇、偶函数定义与1727年论文中的定义实质上并无二致，但他讨论了更多类型的奇、偶函数，也给出了奇函数的更多的性质。

欧拉认为，函数与函数是等价的，所以尽管奇函数与偶函数的乘积为奇函数，但有时这样的乘积也可能会是偶函数。鉴于此，欧拉提出，要使一个偶函数的幂仍为偶函数，就必须对幂指数进行限制，特别的，如果指数为分数， 那么它的分母就不能为偶数。在将偶函数定义为和的复合函数时，欧拉特别增加了一个限制条件：中不能含有之类的根式。显然，欧拉未能区别函数和函数。

虽然达朗贝尔在《 大百科全书》 中给出了函数的定义，并介绍了有理函数、无理函数、齐次函数、相似函数，但只字未提“奇函数”和“偶函数”这两种特殊函数。

1786年 ，法国人裴奇（F.pezzi）将《 无穷分析引论》 第1卷译成了法文，“奇函数”和“偶函数”分别被译为“fonction paire”“fonction impaire”,这是两个数学名词在法文中的首次出现。

1792年，法国数学家勒让德（A.Legendre）(1752-1833)向科学院提交论文“关于椭圆超越性”中提出了“正弦函数的偶函数”。勒让德可能沿用了裴奇的译名或直接翻译了欧拉的名词。这里我们需要指出的是，将“偶函数”“奇函数”的拉丁文翻译成对应的法文，并不会产生不同的译法，因为最迟在笛卡儿（R.Descartes,1596-1650）的《 几何学》 中已经有了法文的“偶 数”（nombres pairs）和“奇数”(nombres impairs)之名。

“奇函数”、“偶函数”这两个名称在18世纪末的法国并未得到普遍使用；或者说，函数的奇偶性还没有受到当时法国数学家的普遍关注。1796年，法国数学家拉贝将《无穷分析引论》全书译成法文，其中拉贝同样将“奇函数”、“偶函数”分别译为“fonction paire”“fonction impaire”

1809年，苏格兰数学家华里司（W.Wallace,1768-1843）将勒让德的论文译成英文， 发表在《数学文库》(MathematicsRepository)上。华里司很自然地将 “function paire”译为“even function”。这是“even function”这个词在英语世界中的首次出现。不过，在英国著名数学家胡顿（C.Hutton，1737-1823）于1815年出版的《数学与哲学辞典》中，虽然有“函数”和“微积分中的函数”这两个词条，但奇、偶函数念却付之阙如。而德摩根的《代数学基础》（伟烈亚力和李善兰译为《代数学》）虽对函数进行了清晰地分类，但仍只字未提奇、偶函数。在美 国，数学家罗密士（E.Loomis,1811-1889）的微积分畅销书《解析几何与微积分基础》（李善兰与伟烈亚力译为《代微积拾级》）虽然给出了隐函数、显函数、增 函 数、减函数之名，但同样不含奇、偶函数之说。这说明，奇、偶函数概念以及华里司所引入的新名词在19世纪上半叶的英语世界里尚未得到广泛传播和普遍关注．相应地，两个概念也就不见于中国晚清的西方数学译著。直到20世纪初，两个概念才传入中国。1938年出版的《算学名词汇编》 和1945年出版的《数学名词》 中都收录了两个名词。

奇函数：，当在处有定义时，必有。

常见的奇函数有等。

对于函数，当时，既是奇函数又是偶函数，当时，是奇函数；当时，是偶函数。