证明：因为不定方程没有正整数解，由推论知，1不是同余数。

例2 试证7是同余数

证明：在中，取 ，得，故7是同余数

例3 设k为正整数，试证不是同余数

证明：假设是同余数，则有：有正整数解，从而，不定方程有正整数解，但不定方程没有正整数解，矛盾，故假设不成立。因此，不是同余数

同余数问题在数学界被称为三大千年数论难题之一（另外两个是完全数问题与三次和三次以上丢番图方程有解问题）。古阿拉伯人是通过研究直角三角形的面积提出同余数问题的。对于直角三角形，人们已经知道，它的三边满足方程 ，这就是我们所说的的勾股定理（在国外又被称为毕达哥拉斯定理）。当直角三角形的三边 为有理数，若直角三角形的面积 为正整数，这样的 就是古阿拉伯人所欲求得的同余数。

早在一千多年前的一份阿拉伯手稿中，提出了这样一个问题：一个正整数n何时能成为一个一个由三个有理平方数形成的等差数列的公差，也就是说 都是平方数。这与前面的定义是等价的，因为 形成我们想要的等差数列。反过来，若 ，则 形成一个面积为 的有理直角三角形。这便是同余数名称的由来。容易看出，乘上一个平方数不影响一个数是否成为同余数。所以人们常常假设n不含平方因子。在阿拉伯人的手稿中，给出了34个同余数，其中，不含平方因子的有30个：

以后的古希腊人，也曾在同余数问题上得到了一些具体的结果。

经典结果

到了十七世纪，法国大数学家费尔马开始对同余数问题进行系统地研究，首先，他把古阿拉伯人的研究方法改造为一个定理：正整数n是同余数当且仅当方程组 具有y≠0的整数解。这就使初等数论理论开始应用到同余数问题的研究之中，运用他自己发明的无穷递降法，费尔马证明了1 ，2 ，3 不是同余数。其中1不是同余数等价于方幂等于4的费马大定理，即 没有整数解。这也是最早出现的对非同余数的研究成果。莱昂哈德·欧拉(Euler)第一个证明了7是同余数。

公元972年，在一份阿拉伯手稿中，提出了这样一个问题：一个正整数n何时能成为一个一个由三个有理平方数形成的等差数列的公差，也就是说x-n,x,x+n都是平方数。

十三世纪，意大利数学家斐波那契指出5和7是同余数，他也猜想1、2、3不是同余数，但未能给出证明。

直到1659年，法国大数学家费尔马运用他自己发明的无穷下降法证明了1、2、3不是同余数。

十八世纪，大数学家欧拉首次证明了7是同余数。

1952年，Heegner证明了任意模8余5、7的素数和任意模4余3的素数的两倍均为同余数。

2000年，美国克雷数学研究所公布了千禧年七大数学难题，每破解其中一个难题者将获得100万美元的奖金。其中就有著名的BSD猜想（全称Birch and Swinnerton-Dyer猜想），而这个猜想与同余数问题有紧密的联系。

2012年，田野证明了存在无穷多个具有任意指定素因子个数的同余数，这是在同余数问题上的一个根本性突破，也首次给出了解决BSD猜想的线索。

与椭圆曲线关系

近代人们发现同余数问题与椭圆曲线紧密相关。n是同余数等价于椭圆曲线 有无穷多个有理点。特别的，在假设BSD猜想前提下，模8余5，6，7的n是同余数。

把这个定理与椭圆曲线理论相联系，使人们对同余数问题的研究有了重大的进展，不过人们同时也发现，用这个定理去求解一个具体的同余数仍然非常地困难。例如，人们已知157是同余数，但在方程 的最小解 中，x的分母和分子都近100位，它对应的直角三角形的斜边为

.

猜想性的判定法则

Tunnell证明了在假设BSD猜想的前提下，若n是奇数，定义

若n是偶数，定义

则n是同余数等价于a(n)=0。由于解析秩为0的情形已经被证明，因此a(n)不等于0能推出n不是同余数。利用这种方法，可以有效地验证一个非同余数。

2下降法

在非同余数方面，人们推广了费马的方法，证明了任何素数或者素数的两倍，如果模8余1，2，3，是非同余数。冯克勤证明了对任意的k>0，存在无限多个非同余数恰好有k个素因子。

与特殊值公式的关系

利用特殊值的导数公式，Heegner证明了模8余5，6，7的素数或素数两倍是同余数。在此基础上，田野证明了对任意的k>0，存在无限多个非同余数恰好有k个素因子。

50%-50%猜想

人们猜想，几乎所有的模8余5,6,7的平方自由的正整数对应的椭圆曲线秩为1，几乎所有的模8余1,2,3的平方自由的正整数对应的椭圆曲线秩为0。也就是说所有的同余椭圆曲线中有50%秩为0，50%秩为1。田野首次证明了秩为0和秩为1的百分比均大于0，相关文章尚未发表。