虽然伽罗瓦并未提出域的概念，但一般被誉为是首个将群论和域论连系起来的数学家，伽罗瓦理论便以他命名。事实上，埃米尔·阿廷在1928至42年间才将群和域的关系大大地发展。

一个交换除环称域。即若F至少含有两个元素，且有两个代数运算+，·，F对+及F非零元集F*对·均为交换群，F对+满足分配律。研究域的代数分支称域论。一个含无穷多元素的域称无限域；一个含有限个元素的域称有限域或伽罗瓦域。由于域是交换单环，无真理想，因而域不能像群、环那样，通过对不变子群，商群或理想、商环来讨论。常用的方法是从已知域出发，研究它的扩域。

一个不含真子域的域称素域，有理数域Q是特征0的素域， 是特征p的素域。并且若F是域， 时，F含与Q同构的素子域； 时，F含与 同构的素子域。

若F是E的子域，即E是F的扩域，记为E/F 。若E/F，且 ，E的含F， 的最小子域记为F( )。为添加 于F所得的单扩域，且F( )={f( )/(ga)I g(a)≠o，f( )，g( )均为F上 的多项式}；若 ，E的添加 于F的最小子域记为。

若 ，且存在多项式 使 ，称 为F上代数元，否则称 为F上超越元；若E/F，且E中元均为F上代数元，则称E是F的代数扩域；若 是F上代数元，则 是F的代数扩域，称为F的单代数扩域，添加一个超越元所得扩域即为单超越扩域。单代数扩域与单超越扩域有不同的结构：若 为F上超越元，则 的商域；若 为F上代数元，则 ，其中p(x)是F上首1的不可约多项式，且 时。称p(x)为 在F上的极小多项式。并且若 ， 则 。

给定扩域E/F，E作为F上向量空问，若 ，称n为E在F上的次数，记作(E：F)。若(E：F)有限，称E为F上有限扩域，否则称为无限扩域。若有域列 ，且(E：I)，(I：F)皆有限，则(E：F)有限，且(E：F)=(E：I)(I：F)。一般，若 ，且 有限(i=1，…，s)，则 有限，且 。单代数扩域 是F的有限扩域，若 在F上的极小多项式为p(x)，则 。并且F的每个有限扩域一定是F的代数扩域；若 均为F上代数元，则 是F的有限扩域，因而是代数扩域。

每一个次数大于0的数系数多项式在给定的数域上未必能分解成一次因式之积，但代数基本定理保证了每一个次数大于0的多项式在复数范围都可分解为一次因式之积。如果F上每一个次数大于0的多项式均可分解为F上一次因式之积，称F为代数闭域，此时F不再有真的代数扩域。每个域F均存在代数扩域E，使E为代数闭域；复数域是代数闭域。

若E是F的扩域，对于F上多项式f(x)，在E上f(x)可以分解为一次因式之积，并且对F的任一较小扩域I，f(x)在J上不能分解为一次因式之积，称E为f(x)在F上的分裂域或根域。对于F上每个多项式，同构的意义下均存在唯一的分裂域。一个多项式的分裂域依赖于这个多项式系数所在的域，如 作为有理系数多项式，其分裂域为 ，但作为实系数多项式，其分裂域仍为R。若 ， ，在E上 ，则 在F上分裂域 。

有限域是一类重要的域，有限域的特征为素数。设F为特征p的有限域，△为F的素子域，且(F：△)=n,则 ，且F是 在△上分裂域。对任何素数p及正整数n，均存在 个元的有限域，且同构意义下唯一。有限域结构简单：若F是有限域，△为F的素域，则存在F中 ， 。有限域的非零元构成的乘群皆为循环群。若F*=(a)，则F=△( )。利用有限域的性质可以构造出各种对称性质的组合结构，如正交拉丁方，平衡区组设计等，这些组合结构有效地应用于试验设计，通信系统等许多实际领域中，特别随着计算机技术蓬勃发展，有限域理论成了广大工程技术人员不可缺少的数学工具。