更新时间：2022-09-17 22:11
设X，Y是定义在同一个概率空间上的两个实随机变量，称Z=X+iY为一个复随机变量，其中i2=-1。复随机变量X+iY本质上是二维随机变量(X，Y)，具有二维随机变量的一些性质。例如，实二维随机变量(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)相互独立，那么复随机变量X1+iY1，X2+iY2，…，Xn+iYn也相互独立。当复随机变量Z=X+iY的实部X与虚部Y都有有限的数学期望，就定义E[Z]=E[X]+iE[Y]为Z的数学期望，若E[X]、E[Y]至少有一个不存在，就说E[Z]不存在。关于随机变量数学期望的一些性质，对复随机变量也成立。
一些重要的量往往是复数，如周期信号的傅里叶系数就是复数，因此需要一种记号，以便于处理取值为复数的随机变量 ，即
式中：实部X和虚部Y都是实随机变量。
复随机变量Z的实部X和虚部Y的联合概率密度，称为复随机变量Z的密度函数，即
式中： 为一个实数。
若将实随机变量的期望值、方差和协方差推广至复随机变量时，则要求：
(1)当实随机变量Y=0(或X=0)时，复随机变量Z的矩应当等于实随机变量X(或Y)的矩。
(2)必须保持随机变量的矩的特性(如方差应为非负实数)。
复随机变量Z的期望值规定为
当Y=0时， ，符合前述要求。
复随机变量Z的方差规定为
式中：上标*表示共轭。若Y=0，则 ，符合要求。
两个复随机变量 和 之间的协方差规定为
如果 ，则有 ，符合要求。
对于随机复向量X和Y，可推广上述定义。其中，协方差矩阵表示成
式中：上标H表示取共轭转置。
若复随机变量 和 的协方差为零，即
则称复变量和不相关。
若复随机变量和的二阶混合矩为零，即
则称复变量和正交。
若复随机变量和的密度函数满足
则称复变量和独立。