1895年，离开柯尼斯堡，接受了哥廷根大学数学教授的工作。

1900年，担任德国数学学会主席。

1903年，当选为德国巴伐利亚科学与人文学院通讯院士。

1913年，与以前的学生柯朗在哥廷根建立了数学研究所，并在之后任了所长；同年，当选为柏林科学院通讯院士。

1928年，当选为英国皇家学会外籍院士。

1930年，从哥廷根大学退休。

1932年，当选为德国国家科学院院士。

1942年，当选为柏林科学院荣誉院士。

1943年2月14日，在德国哥廷根逝世，享年81岁。

不变量论

1884年，戴维·希尔伯特完成了课程，开始了一项长达9年的关于代数形式和不变量论的课题研究。他在林德曼的指导下做博士研究，以一篇题为《关于特殊二元形式特别是球面函数的不变量特性》的论文获得博士学位。之后，他在莱比锡跟随克莱因学习了一个学期。他的另一个学期在巴黎跟随埃尔米特和庞加莱学习。在这段额外学习的末期，希尔伯特发表了一篇关于不变量论的文章。

1888年，戴维·希尔伯特解决了一个不变量论里的公开难题，即哥尔丹问题，证明了希尔伯特基定理。希尔伯特证明，对含任意多变量的类似多项式都可以写成有限个基的和。1890年他发表在《数学年报》的《关于代数形式》一文引起了争议，因为它只证明了有限基的存在却没有给出构造方法。两年后，希尔伯特给出了为任意无限形式系列构造有限基元的证明，克莱因评价他对此问题的解决方案是该期刊有史以来刊发的代数工作中最重要的一项。

在同一篇文章中，戴维·希尔伯特为他的基本定理给出了第一个证明，他还证明了另一个不变量论中的重要结论，即零集合定理。这条定理给出，如果一个多项式与一个已知理想中的所有多项式在同一点上同为零，那么的某次方一定会属于这个理想。这个重要结论成了代数几何的基石，代数几何这条分支主要研究多项式方程的根。

戴维·希尔伯特的关于哥尔丹问题的论文为不变量论这一学科引入了新的技巧，使其研究重点由冗长的计算问题转向更成体系的代数证明。他的新方法解决了不变量论领域最前沿的问题，并使他成为这一领域最重要的研究者。1893年，希尔伯特为在芝加哥召开的国际数学家大会写了一篇文章，总结了不变量论的历史和发展状况。在成功解决了不变量论的重要问题之后，他将接下来五年的注意力转向了数学的另一领域——代数数论。

代数数论

戴维·希尔伯特集中精力于数论，并对一些已知定理用更优美的原理给出再证明。1893年年初，希尔伯特给出了一个关于与超越性质的更简洁、直接的证明。很快，他又发现两种蕴涵更高级思想的证明，即素理想分离法。在1893年的年度会议上，德国数学家协会邀请希尔伯特和闵可夫斯基准备一篇报告，来总结数论的历史和发展状况。尽管闵可夫斯基没能完成这项计划中他负责的部分，但1897年希尔伯特还是以《关于代数数论领域的报告》为题提交了一份长达400页的手稿。这篇详尽的报告大大超出了这项计划的原初目的。为了收录这个领域早先的研究成果，希尔伯特重新组织了学科的基本原理，为许多结论提供了新的证明，为一些逐步发展的思想，如类域理论和相对循环域奠定了基础工作。这篇专题论文后来简称为《数论报告》，决定了希尔伯特后来半个世纪数论的工作方向。

随后的两年，戴维·希尔伯特发表了一系列主题丰富的数论文章，包括交换律和素点。这些工作的最后一篇文章是他的1898年的《关于相对阿贝尔场论》，刊发在《德国数学协会年度报告》上，他在此篇中简述了Class场论，阐明了这个学科全面发展所需的概念和原理，为后来的数学家留下了丰富的研究课题。在这篇文章发表之后，他又将精力投入数学的其他领域。11年后，他重拾数论证明了华林定理。1909年，希尔伯特成功地证明对于每个正整数，都有一个对应的正整数，使其能够被写作个次方数之和。

几何

在重定型不变量论和重组织代数数论之后，戴维·希尔伯特转向几何，在这里他完成了类似的再构建。在新机构的第三年，他讲授了一系列几何课程，1899年结集出版为《几何基础》。在此书中，他以21个统一、完整、独立的基本公理，重新设定和导出了欧几里得几何的所有定理。“统一”意味着任意组合公理都不会产生矛盾。“完整”是指几何学中所有定理都是这21条原理的推导结果。“独立”保证了不存在任何一条公理是其他公理的推导结果。希尔伯特坚持几何中所有概念的性质必须只能由公理导出，任何外来的观念都毫无意义。他明确指出，必须控制几何学的正当性，即使把桌椅、土换为点、线、面也在所不惜。

戴维·希尔伯特的书在几何学上的影响胜过自《几何原本》以来的所有其他著作。《几何原本》是欧几里得写的一本关于几何和数论的经典著作。希尔伯特的论著对数学思想产生巨大影响，促进了数学所有分支的公理化。庞加莱评价这本书是在非欧式几何发现之后，重建欧式几何缺失部分的法典。希尔伯特的著作被翻译成了多种语言，其中英文第14版于1999年出版。

20世纪的数学难题

1900年在巴黎召开的第二届数学家大会上，戴维·希尔伯特进行了一次题为《数学难题》的演讲，他指出了10个他认为影响下个世纪数学发展进程的核心问题。这篇被国际上多家数学期刊转载的演讲全文实际上包含了覆盖数学各个领域的23个难题：6个数学公理基础问题、6个代数数论问题、6个代数与几何问题和5个分析问题。这些问题中几乎没有一个是针对某一点的，绝大部分都代表整个研究活动。贯穿20世纪，当每一个希尔伯特难题被征服的时候，都会引起整个国际数学界的关注。外尔称解决难题的人为数学家中的“荣誉阶级”。

公理化组的第一个难题，需要证明连续性假设，其引出的成果撼动了整个数学的基础。连续性假设，由康托于1879年提出，他断言每个实数的无穷子集都是或者可数的无穷集，如正整数集，或者包含连续的基数，如实数全集。厄恩斯特·朗美罗、罗素、哥德尔都对这一问题的不同方面作出卓越贡献。保罗·寇恩于1963年显示这个假设无法用其他集合论的公理证明。尽管问题的答案与希尔伯特的预期很不相同，却圆满达成了他想要激起广泛数学研究的初衷，包括质疑基础的假设。

希尔伯特的第七个难题，是最具体的问题之一。这个问题需要证明任一形式的表达式都是超越数，如果和同是代数数（即整系数多项式方程的根），并且是无理数（不能表达为两整数之商）。这种形式的数包括，即希尔伯特数。1934年，亚历山大·格尔方德提供了满意的证明，而后此问题被称为格尔方德定理。拓展原初问题的疆域，数学家想要知道如果与都是超越数，那么是否为超越数。这个更具有普遍性的问题在原问题解决70多年后仍持续激励着数学家们为之奋斗。

这23个希尔伯特难题不仅是一些艰涩难题的集合，在他精心措辞的讲稿里，戴维·希尔伯特解释了每个问题之所以作为一个重要的数学议题呈现在这里的原因。他认为每个问题的解决都会产生一个照亮特殊领域和相关概念的理论，他坚持众多绝妙问题的存在正是数学学科健康发展的证据。希尔伯特难题得到了国际数学界的回应，各国数学家接受并乐于解出希尔伯特难题。

分析和理论物理

戴维·希尔伯特与他的同事们一起致力于这23个难题，专注于最后的一组难题，分析成为他1902至1912年间的研究重点。希尔伯特1904年对狄拉克法则所做的推广，帮助了第20道难题取得进展，这道难题需要寻求为一些指定值在给定数域边界建立函数并使得它的导数在数域内部满足一个给定的偏微分方程的原理。1905年，他提供了关于满足两个特殊临界值的线性微分方程的存在性的第21道难题的不完全解法。希尔伯特在变分法方面做了广泛研究，这是一个寻求满足一系列微分方程并使一个相关表达式值最小的函数的分支。他在这一领域的工作对所有难题中最具广泛性的一个，即需要大量运用变分技巧的第23题作出贡献。

戴维·希尔伯特对分析最重要的贡献便是无限维向量空间，现在叫作希尔伯特空间。那些包含无穷个满足一定收敛判别准则的函数集合使他的工作涉及积分方程，即包含未知函数及其积分形式的方程。在1912年出版的《线性积分方程的代数学原理》一书中希尔伯特总结了1904至1910年间的工作。由于他的数论报告已在15年前做出，这部论著为很多数学家开拓了新的研究疆域。

由于希尔伯特空间在物理现象分析方面的独特作用，戴维·希尔伯特的后续研究深入数学物理。他对量子力学、气体动理论、放射理论都作出了贡献。1915年他与爱因斯坦保持每日互通明信片，当时爱因斯坦在哥廷根大学物理系，这两个人各自独立地完成了广义相对论的场方程。1924年，柯朗出版了他的《数学物理方法》，希尔伯特作为共同作者出现，他在此为各种物理学理论建立了严格的数学基础。这本著作及柯朗于1937年出版的同名第二卷书从希尔伯特的讲稿和论文中汲取了许多营养。

数学的基本原理与无限

20世纪20年代，戴维·希尔伯特将他的注意力转向了数学的基本原理。他开始建立一系列的公理，使得人们由此出发可以逻辑地导出数学的全部内容。“希尔伯特计划”假设的基础，正如通常所知的是：每个数学声明都是可证真伪的。希尔伯特1926年发表在《数学年报》上的论文《关于无限》和《没有人能超越康托为我们创造的天堂》，显示在他尝试证明数学是一个免受矛盾困扰的学科时，希尔伯特对康托处理无穷量时所用技巧的严重依赖。在1928年出版的他与威廉·阿克曼合著的《数学逻辑原理》一书中，希尔伯特进一步解释了这层关联。但是到了20世纪30年代，哥德尔发表的几篇论文导致这样的希望未能完全实现。希尔伯特计划被哥德尔不完备性定理否定后，希尔伯特为此创立的“证明论”开辟了数理逻辑的一个新领域。

在职业生涯始终，戴维·希尔伯特都对康托的无限思想抱以极大兴趣。早在1891年，在一篇发表在《数学年报》上的名为《关于直线到平面区域的连续映射》的文章中，他宣称一条一维曲线可以与一个二维平面区域包含相同多的点。他提出了一个构造曲线的方法，使其填满一个正方形内所有的点。首先画一个包含正方形三条边的正形折线，再以四个边长更短的形折线替代它。在每一步他都做相似的替换，于是产生了4倍于先前数量的基本形（他声称这个曲线系列的极限形式便是一种穿过正方形所有点的分形图形）。

在与其他数学家关于这个极限思想的讨论中，戴维·希尔伯特提出，如果一个旅馆有无限的房间号，，……那么它将面临一些矛盾。他解释说，即便所有的房间都住满旅客，旅馆的经理还是可以再腾出一间空房，只要他将所有的房客都顺次移到下一间客房。对于每个正整数，他将号客房的客人移入号房的解决方案，确保了空出第一间房给新客人。如果个人到达，经理可以将客人从号房移到号房。进一步设想，希尔伯特提出，如果一列载有无数位旅客的火车到达，经理可以让现有的房客从号房间搬到号，空出所有的奇数号房间安排新客人。他甚至建议如果有无数列这样的列车到达，经理可以让已有住客从号房间搬到第号，空出第，，……号房间给第一列火车的客人；第，，……号房间给第二列火车；第，，……号房间给第三列火车，以此类推，每个新的质数对应一列新的火车（“希尔伯特旅馆”，可以叫作一个矛盾的情景设置，为康托集合论中无穷量的运算法则提供了一个可感知的例子）。

晚年作品

在20世纪30年代，戴维·希尔伯特和他的同事只出版了数量有限的研究图书。1932年，希尔伯特与斯蒂芬·科恩·沃什一起出版了《几何与想象》，一部关于几何曲线和曲面的描述性总结。希尔伯特与贝尔奈斯一起分别在1934年和1939年出版了两卷著作《数学基础》讨论数学的公理化问题。柯朗承担了数学物理方面的两卷，科恩·沃什和贝尔奈斯所著的部分则是基于20世纪20年代早期希尔伯特的讲稿，并且把他的名字列在合著者中，尽管他们几乎承担了所有的写作工作。这3本合著书均被翻译成了多种语言，在全世界广泛流传。1932一1935年，希尔伯特收集了数论、代数和分析方面的论文，结集出版为3卷的《收编本》。

1884年后，戴维·希尔伯特为了他的大学教授任教资格做了一次关于周期函数的演讲。

1900年，戴维·希尔伯特在巴黎召开的第二届数学家大会上进行了一次题为《数学难题》的演讲。

1922年，戴维·希尔伯特在苏黎世的一次演讲中讨论了数学的公理化。

1930年，戴维·希尔伯特在柯尼斯堡的一次会议上发表了演讲，讨论了数学探究的本质；同年还发表了关于不变量论的告别演讲，听众席上挤满了教授和学生。

1930年后，戴维·希尔伯特仍然在哥廷根大学进行一些讲座，并在1933年—1934年冬季学期每周进行一次关于几何基础的讲座。

戴维·希尔伯特在整个职业生涯中一共指导了69个学生的博士论文。希尔伯特著名的学生包括赫尔曼·外尔、伊曼纽·拉斯克、恩斯特·策梅洛、威廉·阿克曼、费利克斯·伯恩斯坦、奥托·布卢门塔尔、理查·科朗特、哈斯克尔·库里、马克斯·德恩、鲁道夫·富特、阿尔弗雷德·哈尔、格奥尔格·哈梅尔、埃里希·赫克、厄尔·赫德里克、恩斯特·海灵格、爱德华·卡斯纳、奥利弗·凯洛格、赫尔穆特·克内泽尔、奥托·诺伊格鲍尔、埃哈德·施密特、胡果·施坦因豪斯和高木贞治。

戴维·希尔伯特是家中长子，他还有一个弟弟，父亲奥托·希尔伯特是郡法官，母亲玛利亚·瑟莱斯·埃特曼出身商家，受过教育。

1892年10月，戴维·希尔伯特与柯尼斯堡一个商人的女儿——凯茜·耶罗施结婚，育有一子弗朗茨·希尔伯特。

戴维·希尔伯特被誉为有史以来最伟大的数学家之一（H., der als einer der größten Mathematiker aller Zeiten charakterisiert wird.）。（柏林科学院评）

戴维·希尔伯特在几何学方面的研究继欧几里得之后对该领域产生了最大的影响。他在数学和物理学的许多领域都作出了贡献（Hilbert's work in geometry had the greatest influence in that area after Euclid. He made contributions in many areas of mathematics and physics.）。（圣安德鲁斯大学数学与统计学院评）

《布罗克豪斯百科全书》称戴维·希尔伯特为他那个时代的顶尖数学家。在一些历史著作中，他与阿基米德、牛顿和高斯等重要数学家齐名，被誉为“数学王子”（Der Große Brockhaus nennt Hilbert den fuhrenden Mathematiker seiner Zeit. In manchen Geschichtswerken wird er mit den bedeutenden Mathematikern Archimedes, Newton, Gauss in eine Reihe gestellt: ein PrincepsMathematicorum.）。（来自海德堡大学名誉教授彼得·罗奎特纪念希尔伯特140周年诞辰的演示文稿）

戴维·希尔伯特以他的研究和远见卓识的23个难题对数学的各个领域产生了深远的影响。他解决哥尔丹问题和建立有限基元定理所用的原理使不变量论由一个计算学科变成一个代数学科。他的《数论报告》决定了下一代代数数论工作者的研究方向。他关于几何基础的书主导了那个领域后来半个世纪的研究途径。在分析和数学物理方面，他引入的无限维希尔伯特空间占有重要一席。尽管试图将一切数学公理化的希尔伯特计划没有达到它的终极目标，但他在数学逻辑方面的工作使这一学科的许多分支得到深入发展。23个希尔伯特难题能否成功解决，是他对共事者们提出的挑战，正如希尔伯特所期盼的那样，这一挑战成功而广泛地激励了整个20世纪数学研究进程。

哥廷根大学数学研究所的入口休息室被称为“Hilbertraum”，意思是希尔伯特房间，也是希尔伯特空间。戴维·希尔伯特的半身像就放置在这里，半身雕像底座正面的黄铜牌匾上刻有希尔伯特的名字和生卒年。

1970年，国际天文学联合会（IAU）以戴维·希尔伯特的名字命名了一个直径为163公里的月球环形山和一颗小行星。

1991年，在俄罗斯的加里宁格勒（原名柯尼斯堡，即希尔伯特的故乡），当地的大学决定将一个演讲厅以戴维·希尔伯特的名字命名，以纪念这位伟大的数学家。