更新时间：2023-02-09 17:46
密度矩阵是量子统计物理中的一个概念。当一个量子力学系统处于纯态时，系统的状态由波函数或态矢量描述；当系统处于混态时，系统的状态由密度矩阵描述。密度矩阵既是对波函数的推广，也是对经典概率分布的推广。孤立系统的密度矩阵满足幺正演化方程，开放系统的密度矩阵演化满足量子主方程。
当一个量子系统所处的态矢量 |ψ> 不确定时，称该系统处于一个混态。设系统有 pn 的概率处于归一化的可能态 |ψn>，n = 1, 2, 3, ... 于是对于任意的力学量A，其测量值的期望，即系综平均 满足
其中 Tr 表示对算符求迹。于是引入密度矩阵：
则发现力学量 A 的系综平均 = Tr (Aρ) 由密度矩阵 ρ 整体确定，而不依赖 ρ 具体由哪些可能态 |ψn> 以多少概率 pn 混合而成。由于力学量 A 的任意性，若两个量子系统的可能态 |ψn> 的分布列不同，但密度矩阵 ρ 相同，则二者在量子统计意义下是不可分辨的。因此分布列的描述具有冗余性，而密度矩阵 ρ 则恰好描述了系统的全部可测量信息。
密度矩阵 ρ 是一个厄米算符，满足归一化 Tr ρ = 1 和半正定性。纯态可看作密度矩阵 ρ 的秩等于 1 的特例，经典概率分布可看作 ρ 为对角矩阵的特例。密度矩阵 ρ 的非对角元体现了系统在不同态之间的相干性。
设两个可能态 |ψ1> 和 |ψ2> 正交归一。设一个系统 A 处于二者的叠加态 |ψ+> = (|ψ1>+|ψ2>)/√2，而另一个系统 B 处于 |ψ1> 和 |ψ2> 的等概率混合态。系统 A、B 的密度矩阵不同：
用自旋-1/2 的例子比较容易理解 A 和 B 的区别。设 |ψ1> 和|ψ2> 分别为 z 方向自旋向上、向下态。对 A 系统测量 x 方向自旋一定得到结果是向上。而对 B 系统测量 x 方向自旋则等可能得到向上、向下的结果。叠加态是纯态，而混合态不是。系统 B 的态 ρB 也可以看作是 |ψ+> 和 |ψ-> = (|ψ1>-|ψ2>)/√2 等 1/2 概率混合而成，或者 |ψ1>、|ψ2>、|ψ+>、|ψ-> 四个态等 1/4 概率混合而成的。所有这些制备过程得到的态 ρB 都等价。
为了直观地反映密度矩阵 ρ 所描写的混态较为接近纯态还是远离纯态，定义 S = -Tr (ρ ln ρ) 为系统所处态的熵，表示系统缺少信息的程度。纯态的熵 S = 0（混态 S > 0）。
类似地，定义 P = Tr (ρ2) 为系统所处态的纯度。纯态的纯度 P = 1（混态 0 < P < 1）。将 1-P 也可以看作一种熵，不过它不是香农熵（或玻尔兹曼熵），而是 Renyi 熵。
用密度矩阵的熵的概念对纠缠态可以定义纠缠熵，反映两个系统 A 和 B 之间的量子纠缠程度。
设一个大系统由 A、B 两部分组成，整个系统所处量子态为纯态
称 A、B 两个子系统处于纠缠态。纠缠态是直积态的叠加态，表示两个系统相互关联，但单独来看各自却没有确定的状态。用部分迹（partial trace）可以定义 A 和 B 的约化密度矩阵如下：
单独看 A、B 都处于混态，而整体 A+B 却处于纯态。单独看 A、B 无法确定整体 A+B 处于 |Ψ+> 还是|Ψ->，因为两个直积态的相位差的信息在求部分迹的过程中丢失了。量子力学打破了经典物理所认为的部分与整体的关系。整体不等于部分之和。知道整体 A+B 的纯态而确定不了 A、B 部分的纯态，知道 A、B 部分的混态又确定不了二者之间的纠缠关系。
孤立量子系统的密度矩阵 ρ(t) 随时间 t 的演化满足幺正演化方程
所有的不确定性来自初条件 ρ(0) 中包含多个可能态 |ψn>，而它们各自按照哈密顿量 H 做幺正演化，在初条件中所占概率 pn 是不变的。将 ρ(t) 的演化方程改写为微分形式
其中 [A, B] ≡ AB - BA 为算符 A 和 B 的对易子。上式称作量子 Liouville 方程。我们可以把 [H, .] 定义为一个 H 生成的超算符（superoperator）。密度矩阵 ρ(t) 则按照 [H, .] 做幺正演化，保持迹和熵都不变。
Lindblad 方程
开放量子系统的密度矩阵 ρ(t) 的演化满足量子主方程（Lindblad 方程）
其中各 Li 为 Lindblad 算符，{A, B} ≡ AB + BA 为算符 A 和 B 的反对易子。Lindblad 方程仍是对密度矩阵 ρ(t) 按照某个推广的超算符（superoperator）做迹不变的线性演化，可以描述退相干等物理过程，将纯态不可逆地演化为混态。