导函数

更新时间:2024-05-12 14:57

如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导,则称f(x)在(a,b)上可导,则可建立f(x)的导函数,简称导数,记为f'(x)。

定义

如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导,则称f(x)在(a,b)上可导,则可建立f(x)的导函数,简称导数,记为f'(x)。

如果f(x)在(a,b)内可导,且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在,则称f(x)在闭区间[a,b]上可导,f'(x)为区间[a,b]上的导函数,简称导数。

若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点,那么函数f(x)在开区间内可导,这时对于开区间内每一个确定的值,都对应着f(x)的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数f(x)的导函数,记作:y'或者f′(x)。

函数f(x)在它的每一个可导点x。处都对应着一个唯一确定的数值——导数值f′(x),这个对应关系给出了一个定义在f(x)全体可导点的集合上的新函数,称为函数f(x)的导函数,记为f′(x)。

导函数的定义表达式为:

值得注意的是,导数是一个数,是指函数f(x)在点X0处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数,其区别仅在于一个点还是连续的点。

分类

基本函数的导函数

其中C为常数

和差积商函数的导函数

[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)

[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)

[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)^2]

复合函数的导函数

设 y=u(t) ,t=v(x),则 y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x)

例 :y = t^2 ,t = sinx ,则y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x

条件

如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是:函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件极限存在它的左右极限存在且相等)推导而来。

例如:f(x)=|x|在x=0处虽连续,但不可导(左导数-1,右导数1)

上式中,后两个式子可以定义为函数在处的左右导数:

单调性

一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间y'>0,那么函数y=f(x)在这个区间上为增函数:如果在这个区间y'<0,那么函数y=f(x)在这个区间上为减函数;如果在这个区间y'=0,那么函数y=f(x)在这个区间上为常数函数

导数极值

一般地,设函数y=f(x)在x=X0及其附近有定义,如果的值比附近所有各点的函数值都大,我们说是函数y=f(x)的一个极大值;如果的值比附近所有各点的函数值都小,我们说是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值

在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点:

1.极值是一个局部概念。根据定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

2.函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

3.极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。

4.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。

5.在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有 f'(x) =0。但反过来不一定。如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小。 若满足 =0,且在的两侧f(x)的导数异号,则是f(x)的极值点,是极值,并且如果 在x0两侧满足“左正右负”,则是f(x)的极大值点,f()是极大值;如果 在x0两侧满足“左负右正”,则是f(x)的极小值点,f()是极小值。

6.极值与最值的区别:极值是在局部对函数进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较。

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