更新时间：2023-01-08 17:19
如下静电学中平衡问题的数学描述与推广：确定在某一导体F上的正电荷分布使其产生的能量为极小。给定一般位势核K，若对任何紧集F⊂Ω，存在支集包含于F的正测度μ，μ(Ω)=1，使UK(x)在F上K近乎处处等于某个常数EK(F)，则称K满足弱平衡原理，μ称为关于F的弱平衡问题的解；若同时有：
在Ω处处成立，则称K满足平衡原理。当EK(F)>0时，1/EK(F)等于F的K容量CK(F)。α核满足弱平衡原理且当0<α≤2，α
现代分析数学领域的一个分支，主要研究各种形式的位势(函数)和与其密切关联的调和函数、上(下、超、次)调和函数族的各种性质及其应用。经典位势论的主要研究工具是微积分，并与微分方程、复变函数论紧密关联；现代位势论以拓扑、泛函分析与测度论、广义函数等为主要工具，与分析数学领域的诸多分支相互渗透并和随机过程建立了深刻的内在联系。位势论起源于物理学的万有引力学说和静电学，远在1733年，拉格朗日(Lagrange，J.-L.)就注意到引力场是一个函数(称为牛顿位势)的梯度。在三维欧氏空间，一个单位质点εy的引力场在点x(x≠y)的牛顿位势等于把一个单位质点从无穷远移到点x所做的功，其值是1/|x-y|。因此，一个质量分布μ的引力场在x的牛顿位势是：
1772年，拉普拉斯(Laplace，P.-S.)证明了，在不分布质量的地方，位势满足拉普拉斯方程。这样，物理问题便化为求解偏微分方程的数学问题。
从18世纪到19世纪末，位势论的研究限于n维欧氏空间上的牛顿位势(n≥3)和对数位势(n=2)，即所谓经典位势论.其中心问题之一是古典狄利克雷问题的求解。1823年，泊松(Poisson，S.-D.)就球域情形给出了解的积分公式；1828年，格林(Green，G.)对边界充分光滑的有界区域，从物理直观出发并借助于格林函数给出了解；1840年，高斯(Gauss，C.F.)采用变分法解决了平衡问题并得出狄氏问题的新解法。这两个问题与扫除问题相关联，此后一直被称为位势论三大基本问题。1855年，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)和黎曼(Riemann，(G.F.)B.)利用所谓狄利克雷原理给出了解。此外，还有庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)的扫除法，施瓦兹(Schwarz，H.A.)的交错法等。但是，由于缺乏足够的数学工具，这些解法是不严密的，需要附加条件.另外，在这一时期的主要成果还有：1839年，埃恩苏(Earnshaw，E.)证明狄氏解的极值原理；1850年，黎曼把位势论与函数论作统一处理，揭示了格林函数和位势同保形映射之间的密切联系；1886年，哈纳克(Harnack，C.G.A.)建立哈纳克不等式及哈纳克收敛原理。此外，关于诺伊曼问题及多重调和函数的研究也有不少成果。这样，直到19世纪末，位势论的三个基本原理，即极小值原理、收敛性质及狄利克雷问题的可解性已基本建立，它为现代位势论的发展作了很好的准备。
20世纪以来，由于深入应用现代函数论、测度和积分的理论、泛函分析、一般拓扑学、抽象代数、现代概率论的思想和方法，位势论得到蓬勃发展，开辟了新的研究方向，创造了新的方法，成为分析数学领域中比较彻底完成了现代化变革的一个分支，也影响了其他数学分支的发展。
20世纪初，一个重要发现是，1909年，扎雷姆巴(Zaremba，S.)所揭示的去心球体的经典的狄利克雷问题未必可解这一事实。1913年，由勒贝格(Lebesgue，H.L.)利用所谓勒贝格刺给出的不可解区域的反例更有深刻意义，这导致了对区域边界非正则点的研究和广义狄利克雷问题的提出，前者由凯洛格(Kellogg，O.D.)、布利冈(Bouligund，G.L.)、维纳(Wiener，N.)等人完全解决;而佩龙(Perron，O.)于1923年提出了关于一般区域的广义狄利克雷问题并给出新的解法，经过维纳(1925年)，特别是布雷洛(Brélot，M.E.)(1939年)的改进和推广，得到解的存在和惟一性定理的一般形式。此外，柯尔荻希(Keldysh，M.V.)等人在20世纪30年代还研究了狄利克雷问题的解的稳定性。
1925年，里斯(Riesz，F.)引进了上(下)调和函数的概念，为位势论研究提供了新的方法;里斯分解定理建立了上调和函数与位势之间的紧密联系；而对上调和函数连续性的研究导致了细拓扑概念的引入。
20世纪30年代，瓦莱·普桑(Vallée-Poussin，C.-J.-G.-N.de la)用现代观点改进并发展了庞加莱扫除法;弗罗斯特曼(Frostman，O.)发展了高斯变分法，成功地解决了紧集的平衡问题和扫除问题.同期，位势论已推广到非古典核的情况，特别是里斯位势核，它已不属于通常与偏微分方程关联的位势核了.
从20世纪40年代起，泛函分析、拓扑学的方法被系统地引入位势论并使它发展到一个新水平.1941年，嘉当(Cartan，H.)利用希尔伯特空间理论研究具有有限能量的测度等，得到很大成功；同年，马丁(Martin，R.S.)建立了马丁边界理论，导致了关于一般理想边界的深入研究；1950年，戴尼(Deny，J.)用广义函数论解决了完备化问题；1955年，绍凯(Choquet，G.)建立了一般容量理论及可容性定理，并用凸锥极端点理论改进了马丁的成果。此外，对于更一般空间(例如流形、LCA群)和更一般位势核的位势论也有了深入的探讨。
近30多年来，位势论迅速发展，其显著特点之一是各种公理体系的建立。为统一处理已有的理论并加以推广使之适用于一般椭圆型和抛物型方程或随机过程，自20世纪50年代中期起，陶茨(Tautz，G.)、杜布(Doob，J.L.)、布雷洛、鲍尔(Bauer，H.)、邦尼(Bony，J.M.)、康斯坦丁斯库(Constantinescu，C.)和柯尼(Cornea，A.)等人分别提出了不同的公理系统，建立各种形式的调和空间位势论(最近，关于多重调和空间及非线性位势论的公理系统也先后建立起来)；而戴尼和博灵(Beurling，A.)等人则从能量和狄利克雷积分等概念出发建立了狄利克雷空间论。位势论发展的另一个显著特点是，越来越广泛深入地与相邻分支，如复分析(包括黎曼曲面)、拓扑学、几何测度论、微分几何、微分方程、调和分析等相互结合和渗透，且发挥日益明显的作用与影响。特别引人注目的是，对于它与随机过程论之深刻联系的深入研究，同时促进了这两个分支的繁荣和发展，在杜布、亨特(Hunt，G.A.)、迈耶(Meyer，P.A.)和钟开莱等人出色工作的基础上，产生了所谓概率位势论或马尔可夫过程位势论，与此有关的课题正吸引着大批学者去做深入研究。
扫除是位势论的一个基本概念。称核K满足扫除原理，是指对任意紧集F及满足UK≢+∞的正测度μ，扫除问题有解，即存在正测度μ′(或记为βFμ)满足：
处处成立且其中等号在F上K近乎处处成立。这样的μ′=βFμ称为把μ扫到F的扫除测度；UK称为扫除位势；求解μ′的过程称为扫除。格林核、α核(当0<α≤2，α