结合律： ，有

单位元： ，使 ，有

则三元组 称为幺半群。

设 是幺半群，若运算 还满足交换律，则 称为交换幺半群或阿贝尔（Abel）幺半群。交换幺半群经常会将运算写成加号。

设 是幺半群，对可以定义其非负次幂为：，以及对，（n次自乘）。

设 是幺半群，考虑其子集M。若 ，且M对运算 封闭，则易验证， 也是幺半群。称为子幺半群。

等价地，子幺半群是一个子集 N ，其中 N=N ，且上标 * 为克莱尼星号。对任一于 M 内的子集 N 而言，子幺半群 N 会是包含着 N 的最小幺半群。

子集 N 被称之为 M 的生成元，当且仅当 M=N。若 N 是有限的， M 即被称为是有限生成的。

设 是交换幺半群，可以以如下方式在其上定义自然代数预序 ≤ ：

， 定义为 ，使 。

设 是交换幺半群，≤是依上述方式定义的自然预序。若 ，满足：

，总 ，使

则称u是S的序单位。

序单位经常用在 M 是偏序阿贝尔群G 的正锥体的情况。有接受任何交换幺半群，并把它变成全资格阿贝尔群的代数构造；这个构造叫做格罗滕迪克群。

逆元素：一元素x称为可逆，若存在一元素y，使得x*y = e且y*x = e。此一元素y便称做x的逆元素。结合律使得其逆元素（

若 y是x的逆元素，则可以定义x的负幂，以x=y及 x=y*...*y （乘上n次），其中n>1。如此幂的规则在所有整数就都成立了，这也是为什么x的逆元素通常会写做x。所有在幺半群M内的可逆元素，和其自身的运算可组成一个群。在这意思之下，每个幺半群都含有一个群。

但并不是每个幺半群都包含在一个群内的。例如，绝对可能有一个幺半群，其两个元素a和b会有a*b=a的关系，即使b不是单位元。如此的幺半群是不可能包含于一个群内的， 因为在群里，两边一同乘a的逆元素，就会得到b = e的结果，但这不是真的。一个幺半群（M,*）若具有消去性，即表示对任何在M内的a、b、c，a*b = a*c永远意指b = c且b*a = c*a也永远意指b = c。一具有消去性的可交换幺半群总是可以包含于一个群内。这是为什么整数（加法运算下的群）可以由自然数（具有消去性的加法运算下的可交换幺半群）建立。但一具有消去性的不可交换幺半群则一定不可能包含于一个群之中。

若一幺半群有消去性且是有限的，它会是一个群。

一可逆幺半群为一幺半群，其任一在M内的a，总存在一唯一在M内的a，使得a=aaa且a=aaa。

一幺半群G的子幺半群是G的子集H，其包含有单位元，且若x、y属于H，则xy属于H。很清楚地，H本身也是个幺半群，在G的二元运算之下。

若幺半群中的一个元同时有左逆元与右逆元，则这左逆元等于右逆元。

幺半群同余是相容于幺半群乘积的等价关系。就是说它是子集

使得它是自反的、对称的和传递的（如同所有等价关系必须的那样），还要有如果 且 对于所有 M 中的 x,y,u 和 v，则有 的性质。

幺半群同余引发同余类

而幺半群运算 * 引发在同余类上的二元运算 :

它是幺半群同态。它明显的也是结合的，所以所有同余类的集合也是幺半群。这个幺半群叫做商幺半群，可以写为

一些额外的符号是公用的。给定子集 ，写

对于引发自 L 的同余类的集合。在这个表示法中，明显的。但是一般的说， 不是幺半群。走相反的方向，如果 是商幺半群的子集，写

当然这只是 X 的成员的并集。一般的说， 不是幺半群。

明显的有 且。

两个幺半群（M,*）和（M′，@）之间的同态是一个函数f : M → M′，会有如下两个性质：

f(x*y) = f(x)@f(y) 对所有在M内的x和yf(e) = e′ 其中e和e′分别是M和M′的单位元。

不是每一个群胚同态都会是个幺半群同态，因为它不一定会维持单位元。和上述不同，群同态的情况则会成立：群论的公理确保每一两群之间的群胚同态都会维持住单位元。对于幺半群，这不是永远成立的，而必须有另外的要求。

双射幺半群同态称做幺半群同构。

每一个单元素集合{x}都可给出一个单元素（当然）幺半群。对定固的x，其幺半群是唯一的，当其幺半群公理在此例子必须满足x*x=x时。

每一个群都是幺半群，且每一个阿贝尔群都是可交换幺半群。

每一半格都是等幂可交换幺半群。

任一个半群S都可以变成幺半群，简单地加上一不在S内的元素e，并定义ee=e和对任一在S内的s，es=s=se。

自然数N是加法及乘法上的可交换幺半群。

以加法或乘法为运算，任何单作环的元素

以加法或乘法为运算的整数、有理数、实数及复数

以矩阵加法或矩阵乘法为运算，所有于一环内n×n矩阵所组成的集合

某些固定字母Σ的有限字符串所组成的集合，会是个以字符串串接为运算的幺半群。空字符串当成单位元。这个幺半群标记为Σ*，并称为在Σ内的自由幺半群。

给定一幺半群M，并考虑包含其所有子集的幂集P（M）。这些子集的二元运算可以定义成S*T={s*t:s在S内且t在T内}。这使得P（M）变成了具有单位元{e}的幺半群。依同样的方法，一个群的幂集是一在群子集的乘积下的幺半群。

设S为一集合。由所有函数S→S所组成的集合会是在复合函数下的幺半群。其单位元为恒等函数。若S为有限的且有n个元素，其幺半群也会是有限的，且有nn个元素。

广义化上述的例子，设C为一范畴且X为C内的一对象。由X所有自同态组成的集合，标记为EndC（X），是一在态射复合下的幺半群。更多有关范畴论和幺半群的关系请见下述。

在连通和下的闭流形同态类所组成的集合，其单位元为一般二维球面类。此外，当a标记为环面类且b标记为射影平面类，此一幺半群的每一个元素c都会有一唯一的表示式c=na+mb，其中n是大于等于零的整数，m为0、1或2，且会有3b=a+b。

设；是一个数为n的循环幺半群，亦即={f0,f1,..,fn−1}。然后，fn=fk，其中。事实上，不同的k会给出不同的幺半群，且每个幺半群都会和另一个同构。

注意当k=0时，函数f是{0,1,2,..,n−1}的置换，并给出个数为n的唯一循环群。

主条目：幺半群作用

算子幺半群是一作用在集合X上的幺半群M。亦即，存在一运算$:M×X→X符合幺半群的运算。

对任一在X内的x：e=x。

对任何在M内的a、b及在X内的x：a$(b)=(a*b)。）=(a*b）·x.

运算子幺半群也叫做作用（因为它们类似于群作用），转移系统，半自动机或变换半群。

最简单、最自然的一类代数系统。一个非空集合S连同定义在它上面的一个结合的(即满足结合律的)二元运算“·”的代数系统(S，·)称为一个半群。半群(S，·)简记为S。

半群是群的推广。群自然是半群；反之显然未必。半群也是环的推广。环在只考虑它的乘法运算的时候是一个半群，称为环的乘半群；但任何一个带零半群却未必是某个环的乘半群。半群代数理论的系统研究始于20世纪50年代(虽然，这方面的工作可追溯到1904年苏士凯维奇(Suschkwitz，A.K.)关于有限半群的论文)。在数学内部和外部的巨大推动下，半群理论已成为代数学的一个公认的分支学科，并早已以其特有的方法独立于群论和环论之外。在20世纪60年代，苏联和美国率先出版了两本专著，利雅平(Ляпин，E.C.)的《半群》和克利福德(Clifford，A.H.)与普雷斯顿(Preston，G.B.)的两卷《半群代数理论》，这对半群代数理论的发展，在国际上起了巨大的推动作用.由德国斯普林格出版社出版的《半群论坛》更是有关半群理论的一个重要的国际性专门刊物。许多数学家在世界各地开展半群理论的研究和各层次高级人才的培养(直到博士后).半群代数理论是半群理论中最基本、最活跃、也最富成果的一部分.此外，尚有半群的分析、拓扑和序理论。