更新时间:2022-08-25 14:01
在数学里,希尔伯特空间即完备的内积空间,也就是说一个带有内积的完备向量空间。是有限维欧几里得空间的一个推广,使之不局限于实数的情形和有限的维数,但又不失完备性。序列空间(sequential space)是一类特殊的拓扑空间。
更一般的希尔伯特空间都是无穷维的,假设 是一个任意集合,可以定义其上的 序列空间,记为
此空间在定义如下内积后,成为一个希尔伯特空间:
其中 和 是 中的任意元素。在这个定义中, 并非一定要是可数的,在 不可数之情形下, 不是可分(separable)的。在下面更具体的例子中,所有的希尔伯特空间在选定适当的 的情况下,都可以表示成为 的一个同构空间。特别地,当 的时候,可以将其简单记为 。
及其上的内积
勒贝格空间( 这里指 空间 )是指定义在测度空间上的函数空间,其中 代表函数的定义域, 的元素是 上的子集族,为 一个 代数,一般把 称作可测空间(measurable space),而 是 上的测度。
更仔细的说, ( 简写做 ) 表示 上所有平方可积(square-integrable)的复数值的可测函数的集合。平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是有限的。要注意的是在 空间里,对于几乎处处( almost everywhere )相同的函数,也就是说如果两函数只在一个测度为0的集合上不相等,我们把这两函数当做在 中相同的元素。
此时两个函数f和g的内积定义为
因为,所以这内积的定义没有问题。
但需要证明的是:
这个证明可以在相关的书籍中找到,与此例相关的内容可以参看关于空间的著作。
索伯列夫空间一般表示为或者是希尔伯特空间的另一个重要实例,它多被应用于偏微分方程的研究。