搞混。在后一种情况，我们有一个张量空间，而在前一种情况我们有对流形每点有定义的张量空间。

手写体字母有时用于表示光滑的张量场。所以

是M上的无限可微分张量场的（m,n）型张量丛的截面集。一个张量场是该集的一个元素。

在数学，物理和工程上，张量场(tensor field)是一个的非常一般化的几何变量的概念。它被用在微分几何和流形的理论中，在代数几何中，在广义相对论中，在材料的应力和应变的分析中，和在物理科学和工程的无数应用中。它是向量场的想法的一般化，而向量场可以视为'从点到点会变化的向量'。

必须注意到很多不严格的称为'张量'的数学结构实际上是'张量场',定义在流形上的场在流行的每点定义了一个张量。对张量的简介请参看张量条目。

例如，曲率张量用在微分几何中而应力能张量在物理和工程上很重要。这两个都和爱因斯坦的广义相对论理论相关。工程上，很多背景流形经常是欧几里得三维空间张量场赋予流形的任意给定点一个空间

中的张量。

其中V是切空间而V是余切空间，参看切丛和余切丛。

矢量场的几何直觉就是不同长度和方向的'箭头'附着在一个区域的每一点。弯曲空间的向量场的例子可以有显示在地球表面的水平风速的气象图。

张量场的一般想法综合了更丰富的几何信息— 例如在度量张量的情况就是点到点变化的椭球— 以及我们不需要把概念建立在曲面的特定映射方式上的思想。它应该独立于纬度和经度存在，或任何我们用以引入数字坐标的特定的'绘图映射'。

在理论物理和其他领域，用张量场表达的微分方程提供了表达本质上是几何的（由张量的本质保证）并在传统上和微积分相关的关系的一种极为通用的方式。表述这样的方程需要一种新的概念，称为协变导数。这个概念用于表述张量场沿着一个向量场的变化。最初的绝对微积分后来被称为张量微积分，导致了联络这个几何概念被分离出来。