R(f*U,f*V)X=∇U∇VX-∇V∇UX-∇[U∇V]X，

其中∇为沿着f的共变导数。

进一步,由上式定义了如下的三重线性映射

映射关于每一个自变量都是 线性的, 故 是 上的 型光滑张量场, 称之为纺射联络空间的曲率张量. 在坐标向量场下， 可以表示为

还可以定义四重线性映射，如下

则映射关于每一个自变量都是 线性的, 故 是黎曼流形上的 型光滑张量场, 称之为黎曼流形的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下,可以表示为

注：上述纺射联络空间上的曲率张量与黎曼流形上的黎曼曲率张量是同一个对象的不同表现形式.

注

黎曼曲率张量有如下的对称性:

最后一个恒等式由里奇(Ricci)发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。

这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有 个独立分量。

另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:

比安基恒等式(Bianchi identity)，经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到共变导数:

给定流形某点的任一坐标表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:

第一（代数）比安基恒等式： 或等价地写为

第二（微分）比安基恒等式： 或等价地写为

其中方括号表示对下标的反对称化，分号表示共变导数。这些恒等式在物理中有应用，特别是广义相对论。

在微分几何中，类似度量张量，里奇张量也是一个在黎曼流形每点的切空间上的对称双线性形式。以格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci-Curbastro）为名的里奇张量或里奇曲率张量（Ricci curvature tensor）。提供了一个数据去描述给定的黎曼度规(Riemannian metric)所决定的体积究竟偏离寻常欧几里得n-空间多少的程度。粗略地讲，里奇张量是用来描述“体积扭曲”的一个值；也就是说，它指出了n-维流形中给定区域之n-维体积，其和欧几里得n-空间中与其相当之区域的体积差异程度。更精确的描述请见下文“直接的几何意义”段落。

设 是一个n维黎曼流形。 记 为M在p点的切空间， 任给切空间 中的一对向量 ，Ricci 张量 在点的值定义为线性映射 的迹（trace），也就是说：

右手边R是所谓黎曼曲率张量，而 是切空间之间的线性映射，所以可以计算这映射的迹。在局部坐标系下有

使用爱因斯坦求和约定的话，上式会写成：

其中，

注意，之后的方程如果使用爱因斯坦求和约定，不会特别注明。

已经知道里奇张量 ，如今就可以用里奇张量来定义里奇曲率。如果 为 点的单位向量，则

定义为在点 ， 方向的里奇曲率，有时会把写成。也有些人会定义里奇曲率为 这里 。

对于黎曼流形(M,g)里任意一点p的旁边可以定义被称为测地法座标系的局部座标系。这些通过p的测地线不但都对应着通过原点的直线，而且同时构成了从p的距离和从原点的欧几里得距离的对应。这个座标系的度量张量是

好处就是，此座标是欧几里得度量的良好近似。实际上，由于在法座标系的放射测地线产生的雅可比场适用的度量的泰勒展开，

可以得到

然后，在这个座标系，在p可以得到以下体积元素的展开。

然后，如果里奇曲率 在向量的方向是正的，由于在M上从p向方向的短的测地线收束族扫过的圆锥区域的体积比在欧几里得空间对应的圆锥区域要小。如此类推，如果里奇曲率在给定的向量的方向是负的，流形同样的圆锥区域的体积比欧几里得空间对应的圆锥区域要大。

里奇曲率本质上就是包含的平面的曲率平均。也就是说最初是圆形（或者是球形）放射状的圆锥会扭曲未椭圆形状，沿着主轴的弯曲是相互相反的作用，而且有把体积变为零的可能性。然后里奇曲率沿着 会变为零。在物理的应用，一定要变零的切断曲率的存在并不一定是局部性一定有什么质量。世界线圆锥最初的圆形的横切面是，要是变成了后来体积没变化的椭圆，这个效果就是来自其他位置的质量的潮汐效果。

在黎曼几何与广义相对论中，一个伪黎曼流形无迹的里奇张量(trace-free Ricci tensor)是一个定义如下的张量