4. 逻辑学术语。一种由许多具体事实概括出一般原理的推理方法，与“演绎”法相对。

胡适 《清代学者的治学方法》：“举例作证是归纳的方法。” 秦牧 《艺海拾贝·惠能和尚的偈语》：“把这些事情归纳起来，很可以看出其中是有不少道理的。”

数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法．

所谓归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式．它由推理的前提和结论两部分构成：前提是若干已知的个别事实，是个别或特殊的判断、陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍性的陈述、判断．其思维模式是：设Mi（i=1，2，…，n）是要研究对象M的特例或子集，若Mi（i=1，2，…，n）具有性质P，则由此猜想M也可能具有性质P．

如果=M，这时的归纳法称为完全归纳法．由于它穷尽了被研究对象的一切特例，因而结论是正确可靠的．完全归纳法可以作为论证的方法，它又称为枚举归纳法．

如果是M的真子集，这时的归纳法称为不完全归纳法．由于不完全归纳法没有穷尽全部被研究的对象，得出的结论只能算猜想，结论的正确与否有待进一步证明或举反例．

本节主要介绍如何运用不完全归纳法获得猜想，对于完全归纳法，将在以后结合有关内容（如分类法）进行讲解．

证明：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于4十．

四边形的周长和对角线的长度和混在一起令人棘手，我们可以从特例考察起：先考虑面积为1的正方形，其周长恰为4，对角线之和为2即．其次考察面积为1的菱形，若两对角线长记为l1、l2，那么菱形面积S=l1·l2，知

l1+ l2≥2=2=，菱形周长： l=4≥2=4。

由此，可以猜想：对一般的凸四边形也可将其周长和对角线长度和分开考虑．

设ABCD为任意一个面积为1的凸四边形．则

SABCD= (eg+gf+fh+he)sinα

≤ (e+f)(g+h)≤，

∴e+f+g+h≥2，即对角线长度之和不小于．

∴a+b+c+d≥4，即周长不小于4．

综上所述，结论得证，

【例 6】在一直线上从左到右依次排列着 1988个点P1，P2，…，P1988，且Pk是线段Pk-1Pk+1的k等分点中最靠近Pk+1的那个点（2≤k≤1988），P1P2=1，

P1987 P1988=l．求证：2l＜3-1984。

【分析】本题初看复杂，难以入手．不妨先从特殊值出发，通过特殊值的计算，以便分析、归纳出一般性的规律．

当k=1时，P1P2=1（已知）；当k= 2时， P2是P1P3的中点，故P2P3= P1P2= 1；当k=3时， P3是P2P4的三等分点中最靠近的那个分点，即P3P4= P2P4= ( P2P3+ P3P4) =P2P3+ P3P4，故P3P4= P2P3=①

由此可推得4 P5=×②，P5P6=××③

由①、②、③，可归纳以下猜想：

PkPk+1=Pk-1Pk。

【证明】

于是有：

令k=1987，则有

故2l＜3-1984。

概念

归纳和演绎是人类认识最早、运用最为广泛的思维方法。它所涉及的是个别与一般的关系， 是事物和概念之间的外部关系。所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。归纳可分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是前提包含该类对象的全体，从而对该类对象作出一般性结论的方法。不完全归纳法又称简单枚举归纳法，是通过观察和研究，发现某类事物中固有的某种属性，并且不断重复而没遇到相反的事例，从而判断出所有该类对象都有这一属性的推理方法，数学上的穷举法就是完全归纳法。简单枚举归纳法的结论带有或然性，可能为真，也可能为假。在实践中，人们总是跟一个个具体的事物打交道，首先获得这些个别事物的知识，然后在这些特殊性知识的基础上，概括出同类事物的普遍性知识。比如，人们从宏观世界万物都可分为若干层次，微观世界的原子可再分为基本粒子以至夸克等等事实，得出“物质是无限可分的”的一般原理。这个认识过程就包含着归纳推理。

和演绎的辩证关系

归纳和演绎反映了人们认识事物两条方向相反的思维途径，前者是从个别到一般的思维运动，后者是从一般到个别的思维运动。

归纳和演绎是形式逻辑和辩证逻辑共有的思维方法，是辩证思维的起点。所不同的是，形式逻辑把归纳和演绎看作是各自独立、相互平行的两种逻辑的证明工具和推理规则，割裂了归纳和演绎的辩证关系，并且，形式逻辑抛开事物的具体内容和矛盾，只注重归纳和演绎的形式，因而总是从不变的前提出发，按照固定的线路，推出僵硬的结论。与形式逻辑相反，辩证逻辑强调归纳和演绎是既相互区别，又相互联系的两种思维方法，是概念、理论形成过程不可分割的两个侧面。

▲首先，归纳与演绎相互联系，互为条件。一方面，没有归纳就没有演绎，归纳是演绎的基础，为演绎提供前提。演绎要从一般推导出个别，作为演绎出发点的一般原则，往往是先由归纳得出来的。例如，生物遗传的基因学说，就是归纳了大量生物实验事实得出来的。又如，在前面我们所举过的例子，“人皆有死”作为演绎推理的前提，是从社会实践中归纳得出的结论。另一方面，没有演绎也没有归纳，演绎为归纳提供指导。归纳要从个别概括出一般，作为对实际材料进行归纳的指导思想，往往又是某种演绎的结果。●例如，达尔文把大量观察、实验材料进行归纳，得出“生物进化”这个结论；但他在得出“生物进化”这个结论之前，早就接受了拉马克等人的有关生物进化的思想和赖尔的地质演化思想，这些思想实际上构成了他归纳经验材料的指导原则，因为有了这些思想，达尔文的考察、归纳才显得有目的性和选择性。

▲其次，归纳和演绎相互补充、相互转化。这是由于，在思维运动中，二者虽然都有重要作用 ，但各自也都存在一定的局限性：归纳法只是对现存的有限的经验材料进行概括，因而不仅不能保证归纳结论的普适性，而且难以区分事物的本质属性与非本质属性，这就使得归纳推理的结论可能为真，也可能为假。演绎法从一般原则出发思考问题，但它无法保证自己的前提即由以出发的一般原则本身是否正确无误。因此，归纳与演绎必须在相互转化过程中，弥补各自的缺陷。归纳之后，需要通过演绎将归纳所得的一般结论推广到未知的事实上，并用这些事实来检验一般结论的正确与否；演绎之后，又要将演绎所得的个别结论与事实相比较，并通过新的归纳来检验、修正、充实原有的演绎前提。归纳和演绎只有在如此周而复始的相互转化过程中，才能弥补各自的缺陷，充分发挥其在探索真理过程中的方法论作用。