——记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;

——记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则;

这三个法则满足下列条件：

a) 赋以第一个和第三个法则，E则为K上的一个向量空间;

b) 对E的元素的任意三元组(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)对K的任一元素偶(α，β)及对E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

设A为一非空集合. 赋予从A到K中的全体映射之集ℱ(A，K)以如下三个法则：

则ℱ(A， K)是K上的代数， 自然地被称为从A到K中的映射代数。当A=N时， 代数ℱ(A，K)叫做K的元素序列代数。

无论是在代数还是在分析中，代数结构都是最常见到的结构之一。十九世纪前半叶末，随着哈密顿四元数理论的建立，非交换代数的研究已经开始. 在十九世纪下半叶，随着M.S.李的工作，非结合代数出现了. 到二十世纪初，由于放弃实数体或复数体作为算子域的限制，代数得到了重大扩展。

与外代数，对称代数，张量代数，克利福德代数等一起，代数结构在多重线性代数中也建立了起来。

导子是数域的一个参数。阿贝尔数域K的导子是一个最小的正整数m，使得K含于m次分圆域Q(ζm)中。更一般地，阿贝尔扩张K/k的导子是k的一个最小的模m(即k的一种除子)，使得K含于k的m射线类域中。狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)称特征χ(即对于某个正整数m定义的乘法同态(Z/mZ)→C)的导子是一个最小的使χ可定义的正整数m。

导子是从数学分析中移植于代数系统，用于讨论一般可分扩张的一种运算。设L是K的扩域，映射D：K→L，若满足：

则称D是K的一个L值导子。在L=K时，或不需要特别强调某个L时，可以径称导子。若K/F是域扩张，K的求导D在F上的限制D′=D|F是F的求导，则称D是D′在K上的拓展。对特征p≠0的域F，K/F成为可分扩张，当且仅当F的每个导子都能拓展为K的导子。

微分环是带导子集的环。若环R有一个导子集合Δ，则Δ称为R的微分系，R称为有微分系Δ的环，或简称微分环或Δ环.设S是有微分系Δ的环R的子环，若S也是有微分系Δ的环，则S称为R的微分子环，或Δ子环，而R称为S的微分扩环。R至少有两个Δ子环{0}和R，称为R的平凡微分子环。其余的微分子环称为非平凡微分子环，或真微分子环。有微分系Δ的环R的子环S是Δ子环的充分必要条件是：a∈S，δ∈Δ，有δa∈S.Δ={δ}时，Δ环及Δ子环分别记为δ环，δ子环。

一个微分环 R 是装备一个或多个导子的环

使得每个导子满足莱布尼兹乘积法则：

，对任何 成立。

注意环可以是非交换的，从而交换环情形下的乘积法则 d(xy) = xdy + ydx 形式未必成立。

一个微分域是装备一个导子的域K。如上所示，导子在域K上亦满足莱布尼兹乘积法则，即对域K中任何两个元素 u 与 v 有 。这和上述形式不同，因为域上的乘法是可交换的。

而且，导子在域K的加法下是一同态

如果 K 是一个微分域，那么我们定义常数域为。

一个域 K 上的微分代数是一个 K-代数 A，其中导子与域K是可交换的。也就是说，对所有 与 有。

同上导子对代数乘法必须服从莱布尼兹法则，以及对加法保持线性。从而，对所有 与 有

以及

微分代数方法是利用微分代数为数学工具来研究控制系统的一种方法。它的主要思想如下：设K是给定的一个微分域，有限生成的微分域扩张K〈y，u〉/K，如果还满足：

即微分域扩张K〈y，u〉/K〈u〉是微分代数的，则称其为一个输入为u、输出为y的非线性控制系统.设(x1，x2，…，xn)=x为域扩张K〈y，u〉/K〈u〉的超越基，那么，非线性控制系统K〈y，u〉/K具有如下广义状态方程描述(实现)：

微分代数方程所定义的非线性系统较通常的状态空间方程描述的系统要广泛，研究内容也要丰富。微分代数方法主要是由法国控制数学家弗里斯(Fliess，M.)发展起来的.这个方法尚在发展之中。