拓扑环

更新时间:2023-01-06 02:55

拓扑学上,拓扑环是一个定义为两个的闭合曲面,若采用三维欧几里得空间诱导的相对拓扑,则同胚于一个拓扑环面,只要它不和自己的轴相交(具体定义见正文)。

环面

几何上,一个环面是一个甜甜圈形状的旋转曲面,由一个绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。球面可以视为环面的特殊情况,也就是旋转轴是该圆的直径时。若转轴和圆不相交,圆面中间有一个洞,就像一个甜甜圈,一个呼啦圈,或者一个充了气的轮胎。另一个情况,也就是轴是圆的一根弦的时候,就产生一个挤扁了的球面,就像一个圆的座垫那样。英文Torus曾是拉丁文的这种形状的座垫。

圆环面可以参数式地定义为:

其中u,v∈ [0, 2π],R是管子的中心到画面的中心的距离,r是圆管的半径。

直角坐标系中的关于z-方位角对称的环面方程是

该圆环面的表面积和内部体积如下

根据更一般的定义,环面的生成元不必是圆,而可以是椭圆或任何圆锥曲线

拓扑

拓扑学上,一个环面是一个定义为两个的闭合曲面:S×S。 上述曲面,若采用R诱导的相对拓扑,则同胚于一个拓扑环面,只要它不和自己的轴相交。

该环面也可用欧几里得平面的一个商空间来表述,这是通过如下的等价关系来完成的

或者等价地说,作为单位正方形将对边粘合的商空间,表述为基本多边形。

环面的基本群是圆的基本群和自身的直积

直观地讲,这意味着一个先绕着环面的“洞”(譬如,沿着某个纬度方向的圆)然后绕着环面“实体”(譬如,沿着特定经度方向的圆)的闭路径可以变形成为先绕实体后绕空心的路径。所以,严格的经度方向和严格的纬度方向的路径是可交换的。这可以想象成为两个鞋带互相穿过然后解开再系上。

环面的第一同调群和基本群同构(因为基本群是交换群)。

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