在十八世纪和十九世纪，工业革命导致城市人口大量增加。基本的数字技能，如描述时间，数钱和简单算术，称为新的城市生活的基本能力。在新的公共教育系统中，数学成了从幼年开始的课程的中心部分。

到二十世纪，数学成了所有发达国家的核心课程的一部分。但是，多样和变化着的关于数学教育的目的的思想导致所采用的内容和方法几乎没有任何整体上的一致性。

在不同的时期在不同的文化和国家中，数学教育试图达到不同的目标。这些目标包括：

教授给所有学生的数字技巧。

教授给大部分学生的实用数学（算术、初等代数、平面几何、立体几何，三角学、平面解析几何、基础微积分、概率论与数理统计学初步），使得他们有能力从事贸易或手工业。

早期的抽象代数概念教育（例如集合和函数）。

选择性的数学领域的教育（例如欧式几何）作为公理化体系的实例和演绎推理的一个模型。

选择性的数学领域的教育（例如微积分）作为现代社会的智力成就的一个实例。

教授给希望以科学为职业的学生的高等数学。

数学教育的方式和变化的目标一致。

绝大部分的历史时期，数学教育的标准是地域性的，由不同的学校或教师根据学生的水平和兴趣来设置。

在现代，有一种趋势是建立地区或国家标准，通常隶属于更广泛的学校教学大纲。例如在英国，数学教育的标准是英国国家教育大纲的一部分。在美国，美国数学教师国家委员会制定了一系列文档，最近的有学校数学的原则和标准，为学校数学的总体目标达成了一致。更具体的教学标准一般在州一级制定——譬如在加利福尼亚，加州教育理事会为数学教育制定了标准。

不同水准的数学教授给不同年龄的学生。一个大致的对算术和初等代数的子课题的教学年龄的参考如下：

加法：5~7岁；更多的位数8~9岁。

减法：5~7岁；更多的位数8~9岁。

乘法：7~8岁；更多的位数9~10岁。

除法：8岁；更多的位数9~10岁。

简单的初等代数知识：11~12岁。

初等代数：13岁以上。

任何特定环境下的方法很大程度上由相关的教育系统所设定的目标所决定。教授数学的方法包括：

经典教育——中世纪的经典教育大纲中的数学教育通常基于欧几里得原本，它被作为演绎推理的范式来教授。

死记硬背——通过重复和记忆来教授数学结果，定义和概念。通常用于乘法表。

习题——通过完成大量同类的练习来传授数学技巧，例如加带分数或者解二次方程。例如，古氏积木（cuisenaire rods）来教授分数。

问题求解——通过给学生无标准答案，不同寻常的，和有时候无解的问题来培养数学的智力、创造力和启发式思考。问题的范围可以从词问题到像国际数学奥林匹克竞赛这样的国际数学竞赛问题。

新数学——一种专注于集合论这样的抽象概念而不是实际应用的教授数学的方法。

历史方法——教授在一个历史，社会和文化背景下数学的发展过程。比纯粹抽象的方式提供了更多的人文乐趣。

这些方法不是所有的，而且任何数学教育系统很可能包含很多不同的方法。

这些人曾在一生中某一阶段教授数学，但他们在其他方面更为著名：

Lewis Carroll，英国作家Charles Dodgson的笔名，曾在牛津基督教堂讲授数学。

道尔顿，英国化学家和物理学家，曾在曼彻斯特、牛津和约克的学校和大学教数学。

Tom Lehrer，美国歌曲作家和讽刺作家，曾在哈佛和麻省理工学院教数学。

Georg Joachim Rheticus，奥地利绘图家，哥白尼的学生，曾在Wittenberg大学教数学。

Edmund Rich，13世纪坎特伯雷大主教，在牛津和巴黎的大学教过数学。

Archie Williams，美国运动员，奥运金牌得主，在加里福尼亚高中教过数学。

中国数学发展史

中国的数学教育（mathematical eduction in China）有悠久的历史，早在西周时期，数学已作为“六艺”之一，成为专门的学问，唐初国子监增设算学馆，设有算学博士和助教，使用李淳风等编纂注释的《算经十书》为教材。明代算科考试亦以这些教材为准（见中国数学史）。

近现代的初等数学教育，可以说是在晚清（1903）颁布癸卯学制，废除科举，兴办小学、中学后才开始的。当时小学设算术课，中学设数学课（包括算术、代数、几何、三角、簿记）。民国初年（1912～1913）公布壬子癸丑学制，中学由五年改为四年，数学课程不再讲授簿记。执行时间最久的是1922年公布的壬戌学制，将小学、中学都改为六年，各分初高两级，初小四年，高小二年，初高中皆三年。初中数学讲授算术、初中代数、平面几何，高中数学讲授平面三角、高中几何、高中代数、平面解析几何（高中曾分文理两科，部分理科加授立体解析几何和微积分初步），这个学制基本沿用到1949年。中华人民共和国成立后，中小学的教育进行了改革，学制大都改为小学六年。初高中各三年，初中逐步取消算术课。50年代高中数学一度停授平面解析几何，后又恢复并增授微积分初步以及概率论和电子计算机的初步知识。中国近代高等数学教育，也是从清朝末年开始的。1862年洋务派创办的京师同文馆，本来是个外语学校，从1866年增设天文算学馆，1867年招生，开始向中等专科学校转变。1868年聘李善兰为总教习，设代数、几何（原本）、平面和球面三角、微积分等课程，可以认为，这是向中国学生较系统地传授西方高等数学基础知识的开始。1898年戊戌变法中，京师大学堂成立，这是中国近代第一个国立大学。1902年，同文馆并入京师大学堂。

辛亥革命后，1912年京师大学堂改名北京大学，首创数学门（相当于系），1919年改称数学系。这是中国第一个数学系。随着较早成立数学系的有南开大学（1920）、厦门大学（1926）、中山大学（1926）、四川大学（1926年前后）、清华大学（1927）、浙江大学（1928）等。此外，1912～1915年间，还成立了北京高等师范学校（1912，前身是1902年设立的京师大学堂师范馆）、武昌高等师范学校（1913）、南京高等师范学校（1915），各设立数学物理（化学）科，他们先后改为北京师范大学（1922）、武汉大学（1928）、东南大学（1923，1928年又改为中央大学），并都成立了数学系，其间或以后成立的其他综合大学、师范院校以及设有理科的高等学校都陆续成立数学系。

各校建系初期，实施的数学教育差别很大，后来教育部才对必修课作了原则规定。主要授课教师多半是归国留学生，所用教材，除少数自编者外，多数是外文本或其中译本。从课程设置看，高等院校的数学教育水平不低，但各校的教学质量差异不小。数学系学生，每校每年级一般都只有少数几个人。

1931年清华大学开始培养数学研究生，后继者有浙江大学、中央大学、北京大学以及抗日战争期间由北京大学、清华大学、南开大学组成的（昆明）西南联合大学，数学的研究工作也比较集中在这几所学校。其中清华大学、浙江大学、武汉大学等还出版了刊物，登载数学论文。

除了在国内培养数学人才外，还通过一些渠道派遣留学生，例如利用中美庚款、中英庚款和中法庚款公开考试派送的留学生中，都有数学名额。30年代还曾邀请少数外国数学家如 W. F. 奥斯古德、N. 维纳、J.(-S.)阿达马等来华讲学。从辛亥革命到中华人民共和国成立，是中国现代数学教育的奠基时期，不少老一辈数学家如姜立夫、熊庆来、陈建功等克服重重困难，艰苦创业，培养了一批数学人才；数量虽然不多，但对于使现代数学在中国土壤上生根，作出了宝贵贡献。

中华人民共和国成立后，在人民政府的集中领导下，采用了苏联的教育制度，数学教育也经历了巨大变革。经过1952年的院系调整，师范院校和综合大学都设立了数学系，全国有了统一制订的教学计划和教学大纲，广泛引进了苏联教材，各校必修课的设置及其内容规范化了,保证了一定水平。数学基础课一般都设了习题课,对学生的帮助更为具体。师范院校的数学专业在基础课的设置上,与综合大学的数学专业相近,并增设教育学、心理学、数学教学法及教育实习等课和教学环节。综合大学的数学专业一度在最后一年至一年半的时间里分为若干专门组，如代数、数论、几何、拓扑、函数论、泛函分析、微分方程、概率论与数理统计等，学生能接触到一些现代数学的前沿工作。后来专门组撤销，课程更多样化了。

从19世纪20年代后期起，浙江大学数学系就开始采用讨论班的形式来培养学生独立工作能力和从事科研工作能力；其他如西南联合大学也曾采用过。到了50年代，结合专门组教学，这种作法得到进一步推广，各主要大学数学系都逐步开展了科学研究工作，并招收了研究生。由于国内培养的数学人才不断增加，教师队伍逐渐改变了过去主要依靠归国留学生的局面，由教育部组织编写的以及个人编写的教材也逐渐取代了外国教材，它们一般较结合本国实际。1957年以后，一些学校开展了应用数学方面的研究，增设了计算数学专业或专门组，开设了如运筹学等课程,概率统计等课程的开设更为普遍，培养了有关方面的人才。理、工等科系的学生，一般也学习一定份量的高等数学课程。

以上情况表明，中华人民共和国成立以后，数学教育在数量和质量上都发生了显著变化，逐步发展提高。但也存在一些问题，如：必修课太重，不少课程要求过专过高，教学制度又过分要求划一，未能因材施教，导致学生学习负担过重，基础不牢，加以对理论和实践有时理解得不全面，工作中有摇摆，使数学教育的发展受到影响。尽管如此，这段时期的数学教育成就还是很大的。一般数学人才的培养已能立足于国内了。

从1966年开始的“文化大革命”，数学教育受到严重挫折。1977年后，经济、政治、科学、教育各方面都先后提出了改革的方针和措施;实事求是精神的发扬，学校自主权的加强，教学制度的灵活，选修课的增加，使各校有条件分别发扬其优势，形成自己的特色。由于明确提出了“大力发展应用研究，重视基础研究”的方针，纯粹数学和应用数学各得其所，长期存在的关于理论和实践关系的认识分歧终于澄清。除了基础数学、计算数学和应用数学专业外，综合大学和师范院校还设了数理逻辑、控制理论、系统科学、信息科学、概率论与数理统计、运筹学、经济数学等专业，许多工科院校也建立了应用数学专业。高等学校理、工、农、医以至经济、管理方面等科系的学生，都学习比过去更多的高等数学方面的课程。

外国数学发展史

一、古埃及数学 埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一，位于尼罗河两岸，公元前3200年左右，形成一个统一的国家。尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面积。由于这种需要，多年积累起来的测地知识便逐渐发展成为几何学。 公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。 现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做莱因德纸草书，一卷藏在莫斯科。埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。 埃及很早就用十进记数法，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数（即分子是 1 的分数）的和。莱因德纸草书用很大的篇幅来记载2/n（n从5到101）型的分数分解成单位分数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分解，还是一个谜。这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。 纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。计算的结果相当于用 3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。 总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。

二、美索不达米亚数学 西亚美索不达米亚地区（即底格里斯河与幼发拉底河流域）是人类早期文明发祥地之一。一般称公元前19世纪至公元前6世纪间该地区的文化为巴比伦文化,相应的数学属巴比伦数学。这一地区的数学传统上溯至约公元前二千年的苏美尔文化，后续至公元1世纪基督教创始时期。对巴比伦数学的了解，依据于19世纪初考古发掘出的楔形文字泥板，有约300块是纯数学内容的，其中约200块是各种数表，包括乘法表、倒数表、平方和立方表等。大约在公元前1800～前1600年间，巴比伦人已使用较系统的以60为基数的数系（包括60进制小数）。由于没有表示零的记号，这种记数法是不完善的。 巴比伦人的代数知识相当丰富。主要用文字表达。偶尔使用记号表示未知量。在公元前1600年前的一块泥板上，记录了许多组毕达哥拉斯三元数组（即勾股数组）。据考证，其求法与希腊人丢番图的方法相同。巴比伦人还讨论了某些三次方程和可化为二次方程的四次方程。 巴比伦的几何属于实用性质的几何，多采用代数方法求解。他们有三角形相似及对应边成比例的知识。用公式（C为圆的周长）求圆面积，相当于取π=3。 巴比伦人在公元前3世纪已较频繁地用数学方法记载和研究天文现象，如记录和推算月球与行星的运动,他们将圆周分为360度的做法一直沿用至今。

三、玛雅数学 对于玛雅数学的了解，主要来自一些残剩的玛雅时代石刻。对这些石刻上象形文字的释读表明：玛雅人很早就创造了位值制的记数系统，具体记数方式又分两种：第一种叫横点记数法；第二种叫头形记数法。横点记数法以一点表示1，以一横表示5，以一介壳状表示0，但不是0符号。 迄今所知道的玛雅数学知识就是如此，其中只显示加法和进位两种。关于形的认识，只能从玛雅古建筑中体会到一些。这些古建筑从外形看都很整齐划一，可以判断当时玛雅人对几何图形已有一定的知识。

四、印度数学 印度数学的数学发展可以划分为三个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期，史称河谷文化；随后是吠陀时期；其次是悉檀多时期。由于河谷文化的象形文字至今不能解读，所以对这一时期印度数学的实际情况了解得很少。 印度数学最早有文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教和印度教的经典《吠陀》当中，年代很不确定，今人所考定的年代出入很大，其年代最早可上溯到公元前10世纪，最晚至公元前3世纪。 由几何计算导致了一些求解一、二次代数方程问题，印度用算术方法给出求解公式。 耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分构成，流传下来的原始经典较少，不过流传一些公元前5世纪至公元后2世纪的注释。 公元773年，印度数码传入阿拉伯国家，后来欧洲人通过阿拉伯人接受了，成为今天国际通用的所谓阿拉伯数码。这种印度数码与记数法成为近世欧洲科学赖以进步的基础。中国唐朝印度裔天文历学家瞿昙悉达于718年翻译的印度历法《九执历》当中也有这些数码，可是未被中国人所接受。 由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学受外来文化影响较深，除希腊天文数学外，也不排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特色。与其算术和代数相比，印度人在几何方面的工作显得十分薄弱，最具特色与影响的成就是其不定分析和对希腊三角术的推进。

中国高等学校是全国科学研究的一个重要的方面军，数学研究也是这样，特别是近十年来有了较全面的发展与提高，一些大学还设立了数学研究所。高级数学人才的培养也随之逐渐能立足于国内，正式建立了学位制。数学方面已在基础数学、计算数学、应用数学、概率论与数理统计、运筹学与控制论、数学教育与数学史等方面培养博士研究生。1983年在中国第一批18位接受本国博士学位的研究生中，获得数学博士学位的就有12人。必须指出，中国科学院数学各方面研究所，在培育人才，包括培养研究生方面，也起了重要作用。1966年以前曾向少数国家派遣了数学方面的留学生和进修教师，1978年起派出人员大量增加。还邀请了许多国外数学家前来讲学，中国数学家出国讲学和参加国际数学学术会议的就更多了。中外学术交流对中国数学事业的繁荣起着很好的作用。

反映科学技术的进步

最近十年来，科学技术迅猛发展，计算机、计算器、全球互联网逐步普及，学校数学承担着不断增加的责任。计算机的应用已经超越于解决问题的范围，他能给予人们研究科学的洞察力，由此导致对数学教育更高的要求。计算机在当今世界的作用完全可以与物理在二十世纪前半叶的作用相比美。通过计算机的模拟，能揭示未知的数学现象。它给数学如此大的推动，有如望远镜对于天文学，显微镜对于生物学一样。另一方面，计算机的巧妙应用，使得研究人员的学识和智慧得以充分发挥，人们能够相信，无论什么时候，数学教育都应该使用计算器和计算机。

日本数学教育协会主席藤田宏教授认为，数学史上有三大高峰：1. 公元前三世纪诞生的欧氏几何学；2. 17~18世纪微积分的发现和发展；3. 现代公理化数学的起源。当代数学的统一的进步，包括计算机科学的进步，可以称为数学史上的第四个高峰。数学和科学技术的这些发展，应该反映在数学教育中。

发展学生的数学能力

发展学生的科学素质，培养学生的数学能力，是数学教育的重要目标之一。推理能力是重要的数学能力，它与探索能力，实践能力相辅相成。这些能力要同时培养。巴西的努纳斯教授认为，在小学里，儿童能够通过利用数学工具，在问题解决的活动中进行学习，并建立起符合他们年龄特征的推理系统；相反，如果儿童学习有关数学工具，但不把它结合到推理活动中，那么，他们解决问题的思维就将受到束缚。 ICME 9的小学数学教学组着重研究了如下专题：（1）理解和检查儿童的数学思维；（2）努力发展儿童的数学能力；（3）对教师在理解、评价和发展儿童数学能力方面给予支持。

培养学生的学科意识

ICME 9的初中数学教学组认为，对于11~16岁的少年儿童，数学课程，相关的教材和教学活动，应该巧妙地帮助学生完成从儿童到成人行为的转变。初中数学课程既要考虑与小学课程的衔接，又要考虑与高中课程的衔接。

在数学中，符号是必不可少的语言。它是人类思维与交流的工具，它能够清晰而简明地表达数学思想和规律。数学符号涉及多个数学分支，在科学技术中，利用数学符号，能有效地寻求模式，进行概括。借助于数学符号，能把有关问题规范化。因此，数学课程要帮助学生树立正确的学科观念，建立正确的符号意识。初中生在数学学习中，要接触大量数学符号，因此，在概念的教学中，要注意符号的自然引入。在代数中要讲请算理与算法，在几何中要弄清图形的特征性质，正确揭示符号所反映的的关系与规律。

帮助学生掌握数学思想方法

高中数学课程面临重大改革，美国数学教师协会（NCTM）于2000年制订发表的“学校数学课程的原则与标准”受到举世关注。高中生应该学习范围宽广的函数知识，包括三角函数、指数函数，等等。在几何、度量、数据分析、概率等方面，学生应该巩固和扩展他们在低年级所学的知识。不断发展他们在数学方面，特别是在问题解决，数学表述，推理论证等方面的熟练程度。ICME 9的高中数学教学组一致认为，数学思想方法的教学应该成为高中数学课程的重要部分。数学建模思想受到与会专家的普遍重视。

由于各国的情况存在诸多差异，在高中数学课程的具体安排上，各国有不同的着重点。例如，英国的高级水平（A-level）数学，主要面向对数学要求较高的理工大学考生，此种数学班的学生需要学习纯数学、统计学、理论力学等内容。韩国开办面向天才生的理科高中，密码学和高等字符串的理论理科高中的学习内容。印度有良好的计算技能传统，甚至文盲的蔬菜小贩也有出色的算术运算技能。为了保持这一善于计算的传统，他们在当今数学教学中仍然不允许使用计算器。

帮助学生打好共同数学基础

ICME 9的大专数学教育组和大学数学教育组分别研究高等数学教育中广泛的问题。由于大学院系专业繁多，各专业对数学的要求不一，大会主要讨论大学公共基础课的高等数学教学问题。与会者认为，随着中小学教学改革的深入展开，随着大学教育系统的改变，大学数学教学改革势在必行：（1）大学数学应该为学生学习专业课打下良好基础；（2）大学数学应该培养学生良好的思维品质和学习能力；（3）大学数学要为学生未来专业工作提供数学工具；（4）当前的大学数学教学赶不上中小学的发展，因此，大学数学教学方法必须改革。

日本专家认为，日本大学数学进入了紧要关头。其理由有三个：首先，大学一年级学生数学知识和能力水平在严重下降；其二，大学教育系统正在改变，数学教学尚未适应这个变化；第三，大学数学教育与学生未来的专业学习配合不当，甚至相互脱节。为此，日本文部省组织专家进行了深入的调查，并提出了改革方案。

幼儿数学教育是一门系统性、科学性、逻辑性较强的学科，所以教师在教育、教学中感到比较难教，幼儿在学习中感到比较枯燥。如何使幼儿数学教育变为教师愿教、幼儿愿学的一门学科，是幼教工作者正在探索的问题之一。

通过和环境相互作用进行幼儿数学教育

根据幼儿期思维发展的特点，小班幼儿处于思维发展的感觉运动水平，中、大班幼儿处于感觉运动阶段向具体形象阶段发展的思维水平，因此幼儿很难掌握抽象的数学概念。由此，教师最好让幼儿通过和环境的相互作用进行数学学习。一个精心安排的环境能促进幼儿思维的发展，发展他们的数学概念。例如，教师安排了能为幼儿提供分类学习的环境。在一个架子上，教师摆放了各种不同大小、不同颜色、不同形状的积塑片，让幼儿进行分类；在另一个柜子上，教师摆放了各种交通工具的卡片，让幼儿根据名称（车、船、飞机、火车）分类。

通过游戏进行幼儿数学教育。 游戏是幼儿期最基本、最主要的活动。在游戏中，幼儿可获得数学知识，并有机会自由地表现自己，表达自己的感受。例如，在娃娃家中，“妈妈”将餐具（勺、碗、筷子等）一一发给“孩子们”。在这个简单的游戏中，幼儿发展了一一对应的概念。

通过操作进行数学教育

只有在幼儿参与了大量的活动，使用了大量的材料，并经常讨论他们的观察和发现，幼儿才有可能掌握概念。例如，当儿童通过大量的操作，发现“1”是所有一样东西所表示的集合时，并能用语言清晰地表示所有一样东西的集合时，幼儿才真正掌握了“1”这个数的含义。

通过各种活动进行数学教育

儿童学习的方式和各自的爱好是不同的，教师应该设计各种活动，提供不同选择的机会，以满足不同儿童的各种需要。例如，在进行分类的活动时，教师可提供各种不同颜色小型积塑片、各种不同的积木、各种学习用具、各种餐具……，以满足不同儿童的探索需要。

通过激发幼儿的思维来进行数学教育

灌输式的教学是一种不经儿童思考的教学，在这种教学情境下，幼儿不可能积极、主动地学习，不可能真正掌握数学知识，发展逻辑思维。因此，教师应该提倡启发式的教学，鼓励儿童通过操作，进行探索。在这个过程中，教师要设置各种问题情境，让幼儿进行思考，自己得出答案。

通过激发幼儿的情感来进行数学教育

幼儿的情感极大地影响他们对数学的学习。应该通过提供幼儿可接受的、鼓励的、刺激的、可欣赏的环境，以此激发幼儿学习数学的兴趣，并使他们确信自己是有能力学好数学的，培养他们对数学的积极态度。例如，“这只杯子装得水多，还是这只碗装得水多？”的问题引发了幼儿的兴趣，通过讨论得出答案后，又使他们确信数学是有趣的，他们喜欢数学，也能学好数学。

通过语言进行数学教育

数学概念的内化和语言技能的发展是儿童智力发展的两个重要方面。二者相互作用，相互促进。教师在教学中应该采用生动、简洁、正确的语言表达，同时也给幼儿用语言表达自己对数学概念的理解的机会。例如，当教师以生动、形象的语言配合具体的实物让幼儿知道什么是三角形以后，启发幼儿用“三角形有三条边，三个角”这样的语言来表达三角形的基本特征。

通过讨论进行数学教育

幼儿通过操作，通过自己的探索，对数学中的某个问题有了一定的感受，急于想表达自己的想法。教师应该为幼儿提供机会，让他们有自由表达的机会，并和同伴一起讨论他们的发现和问题。例如，当幼儿用小石头进行8的分解以后，教师就让幼儿分几个小组讨论，让每个幼儿都能表达自己的感受，并能从同伴的想法中受到启发。在幼儿数学教育，这八种途径不是绝然分开的，而是互相交织、互相作用的。这八种途径的合理、充分的运用，将使教师的教学更加生动活泼，幼儿的学习更加趣味盎然。