更新时间：2024-05-21 11:25
（1）数学猜想是推动数学理论发展的强大动力。数学猜想是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分。数学猜想能够强烈地吸引数学家全身心投入，积极开展相关研究，从而强力推动数学发展。数学猜想一旦被证实，就将转化为定理，汇入数学理论体系之中，从而丰富了数学理论。
（2）数学猜想是创造数学思想方法的重要途径。数学发展史表明，数学家在尝试解决数学猜想过程中（无论最终是否解决）创造出大量有效的数学思想方法。这些数学方法已渗透到数学的各个分支并在数学研究中发挥着重要作用。
（3）数学猜想是研究科学方法论的丰富源泉。首先，数学猜想作为一种研究模式，其产生与发展的规律是探讨数学科学研究方法的重要基础；其次，数学猜想作为一种研究方法，其本身就是数学方法论的研究对象，通过研究解决数学猜想中展现出的一些新方法的规律性而促进数学方法论一般原理的研究；最后，数学猜想作为数学发展的一种重要形式，它又是科学假设在数学中的一种具体体现。数学猜想的类型、特点、提出方法和解决途径对一般科学方法尤其是对创造性思维方法的研究具有特殊价值。
实现猜想的途径，可以是探索试验、类比、归纳、构造、联想、审美以及它们之间的组合等。数学猜想是有一定规律的，如类比的规律、归纳的规律等，并且要以数学知识和经验为支柱。在证明一个数学问题之前，应猜想这个问题的内容；在完全做出详细证明之前，应先得猜想证明的思路。
数学猜想有的被验证为正确的(如费马猜想、卡塔兰猜想、庞加莱猜想等)，并成为定理；有的被验证为错误的(如欧拉猜想、冯·诺伊曼猜想等)；还有一些正在验证过程中(如黎曼假设、周氏猜测、孪生素数猜想、哥德巴赫猜想等)。可以说，数学猜想的解决对于数学发展所带来的影响，不仅在于猜想本身的被证明或证否，解决数学猜想过程中所采用的创新研究方法，也是数学发展的重大影响因子。
数学猜想是以一定的数学事实为根据，包含着以数学事实作为基础的可贵的想象成分；没有数学事实作根据，随心所欲地胡猜乱想得到的命题不能称之为“数学猜想”。数学猜想通常是应用类比、归纳的方法提出的，或者是在灵感中、直觉中闪现出来的。例如，中国数学家和语言学家周海中根据已知的梅森素数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年正式提出了梅森素数分布的猜想(即“周氏猜测”)。
成立的（定理）
四色定理（2008理论证明完成）
卡塔兰猜想（2002年4月证明正确，帕德博恩大学的罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊列斯库(Preda Mihăilescu)证明，由尤里·比卢(Yuri Bilu)检查，大幅使用了分圆域和伽罗华模）
不成立的
希尔伯特－史密斯猜想
开放问题（正在验证）
考拉兹猜想(角谷猜想)
周氏猜测(梅森素数分布猜测)
阿廷猜想(新梅森猜想)
哈代－李特尔伍德第二猜想
P与NP问题