施莱夫利符号

更新时间:2024-05-29 12:52

数学中,施莱夫利符号(Schläfli symbol)是一个可以表示一特定正多胞体若干重要特性的符号。其命名是为了纪念19世纪数学家路德维希·施莱夫利在几何和其他领域的许多重要贡献。

符号简介

正多边形

一个有n个边的多边形,其施莱夫利符号为{n}。例如,施莱夫利符号为{5}的多边形即为五边形。

星形多边形

星形多边形(Star polygon)指的是正非凸多边形,即边长相等的凹多边形或复杂多边形。星形多边形的施莱夫利符号若为{p/q},表示此一星形多边形有p的角,每一个角都和次q的角相连。因此{5/2}即代表的是五芒星。

星芒形

当p和q不互质时,此时的星形多边形即称为星芒形(star figure)。若p跟q的最大公因子为n,此一星芒形即是由n个{p/n/q/n}相互旋绕而成。例如,{6/2},即六芒星(也称作2{3}),便是由两个三角形{3/1}所组成的,而{10/4}则是由两个五芒星所组成。

星芒形一般不会用在更高维的星形多面体与星形多胞体上,它实际上是一种复合多边形/复合星形多边形,而非“星形多边形”。它的三维类比是Stellation,即复合多面体/复合星形多面体——而这个Stellation是不会用施莱夫利符号表示的

正多面体

“正多面体的施莱夫利符号计做{p,q},其中p代表每个面的顶点数,而q代表每个顶点和几个面相连”

——摘自中文wiki(居然只是很不厚道地摘取最简单的,四维以后的却没有写进去)

在正多面体{p,q}中,p可以说是表示每个面是正p边形,q可以说是表示每个顶点的情况,也表示顶点图是正q边形。

正十二面体的施莱夫利符号是{5,3},表示立方体的表面由正【5】边形构成,围绕任意一个点转一圈会划过【3】个正5边形(每个顶点和【3】个面相连)正多面体

正多胞体

在四维空间中,一个正多胞体用符号{p,q,r}表示。

其中{p,q}表示组成这个正多胞体三维表面(Facet),当然{p,q}是正多面体;{q,r}表示每个顶点的情况,即顶点图(Vertex Figure)**;{r}是Edge Figure,表示每条棱的情况,与三维一样类比过来,简单地说r表示的是每条棱与多少个三维胞相连

如超立方体的施莱夫利符号是{4,3,3},表示它的表面由立方体{4,3}构成,它的顶点图是正四面体{3,3},每条棱与【3】({3,3}的第二个“3”)个立方体相连

五维及更高维

在更高维的空间里,可以通过四维空间的施莱夫利符号的表示意义进行类比

一个n维空间的正多胞形(Regular n-polytope)用施莱夫利符号{p1,p2,...,pn-2,pn−1}表示,其中{p1,p2,...,pn−2}表示构成它的n-1维正多胞形;而{p2,p3,...,pn−1}则表示它的顶点图

事实上五维以及更高的维度中,每个维只有三个正多胞形,分别是

n-单形(n-simplex):{3,3,...,3},缩写{3^n-1}(符号中有n-1个3,下同),自身对偶

n-正方体(n-cube):{4,3,3,...,3},缩写{4,3^n-2},n-cross对偶

n-正轴体(n-cross)(其实这个没有中文翻译,名字来自日语):{3,3,...,3,4},缩写{3^n-2,4}

正多胞形符号

零维

: .

一维

线段:{ }

二维

正多边形与星形正多边形(∞)

如果p>2且p是整数,则有{p}为正多边形

如果p>2q≥2且p与q互质,则有{p/q}为星形正多边形

欧式一维正镶嵌(一种)

无穷边形:{∞}

三维

正多面体(五种)

正四面体:{3,3}

立方体:{4,3}

正八面体:{3,4}

正十二面体:{5,3}

正二十面体:{3,5}

星形正多面体(四种)

小星形十二面体:{5/2,5}

大十二面体:{5,5/2}

大星形十二面体:{5/2,3}

大二十面体:{3,5/2}

欧式(平面)正镶嵌(三种)

正六边形平面镶嵌:{6,3}

正方形平面镶嵌:{4,4}

正三角形平面镶嵌:{3,6}

双曲正镶嵌与星形双曲正镶嵌(∞)

当2p+2q<pq,且p,q为正整数时,则有{p,q}为双曲正镶嵌

当m>6且m为奇数时,则有{m,m/2}和{m/2,m}为星形双曲正镶嵌

四维

正多胞体(六种)

正五胞体:{3,3,3}

超正方体:{4,3,3}

正十六胞体:{3,3,4}

正二十四胞体:{3,4,3}

正一百二十胞体:{5,3,3}

正六百胞体:{3,3,5}

星形正多胞体(十种)

(星形正多胞体的几何用语非常难翻译,个人把Grand译为“重”)

Icosahedral 120-cell(二十面体形一百二十胞体):{3,5,5/2}

Small stellated 120-cell(小星形一百二十胞体):{5/2,5,3}

Great 120-cell(大一百二十胞体):{5,5/2,5}

Grand 120-cell(重一百二十胞体):{5,3,5/2}

Great stellated 120-cell(大星形一百二十胞体):{5/2,3,5}

Grand stellated 120-cell(重星形一百二十胞体):{5/2,5,5/2}

Great grand 120-cell(重大一百二十胞体):{5,5/2,3}

Great icosahedral 120-cell(二十面体形大一百二十胞体):{3,5/2,5}

Grand 600-cell(大六百胞体):{3,3,5/2}

Great grand stellated 120-cell(重大星形一百二十胞体):{5/2,3,3}

欧式三维正堆砌(一种)

立方体正堆砌:{4,3,4}

双曲三维正堆砌(四种)

考虑到这种双曲堆砌的组成和顶点图只能是正多面体(不能是正镶嵌),故只有有限种

(order-n是翻译作n-阶吗?)

3阶正二十面体正堆砌:{3,5,3}

5阶立方体正堆砌:{4,3,5}

4阶正十二面体正堆砌:{5,3,4}

5阶正十二面体正堆砌:{5,3,5}

五维

五维正多胞形(三种)

五维正单形(Hexateron):{3,3,3,3}

五维正方形(Penteract,Decateron):{4,3,3,3}

五维正轴形(Pentacross,Triacontakaiditeron):{3,3,3,4}

欧式四维正堆砌(三种)

超正方体正堆砌:{4,3,3,4}

正十六胞体正堆砌:{3,3,4,3}

正二十四胞体正堆砌:{3,4,3,3}

双曲四维正堆砌(五种)

考虑到这种双曲堆砌的组成和顶点图只能是正多面体(不能是正镶嵌),故只有有限种

(order-n是翻译作n-阶吗?)

3阶正一百二十胞体正堆砌:{5,3,3,3}

5阶正五胞体正堆砌:{3,3,3,5}

4阶正一百二十胞体正堆砌:{5,3,3,4}

5阶超正方体正堆砌:{4,3,3,5}

5阶正一百二十胞体正堆砌:{5,3,3,5}

星形双曲四维正堆砌(四种)

3阶小星形一百二十胞体正堆砌:{5/2,5,3,3}

5/2阶正六百胞体正堆砌:{3,3,5,5/2}

5阶二十面体形一百二十胞体正堆砌:{3,5,5/2,5}

3阶大一百二十胞体正堆砌:{5,5/2,5,3}

更高

更高维的正多胞形(均三种)

n-单形(n-simplex):{3,3,...,3},缩写{3^n-1}(符号中有n-1个3,下同),自身对偶

n-正方体(n-cube):{4,3,3,...,3},缩写{4,3^n-2},与n-cross对偶

n-正轴体(n-cross):{3,3,...,3,4},缩写{3^n-2,4},与n-cube对偶

更高维的欧式正堆砌(均一种)

n维正方体正堆砌:{4,3,…,3,4},缩写{4,3^n-2,4},自身对偶

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