(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

20世纪30年代以来，无限群研究有了迅速的发展。与研究其他的代数系统一样，无限群论的最终目的是刻画所有的群。基于有限群论积累的许多成果，无限群论开始研究的都是那些接近有限群的群类，以及在有限群论中研究过的那些类型，诸如交换群、幂零群、可解群等。所研究的问题大致有两类，一类是把关于有限群的结果推广到尽可能广泛的无限群上去；一类是无限群所特有的一些问题，例如关于自由群、群的本原类、伯恩赛德问题等。

关于无限交换群已在交换群中述及，因此以下提到的无限群均指非交换群。

划分出一些群类是研究群的首要问题，常用的划分群类的方法有下列几种。①链条件，是指对子群适合极大(小)条件，即该群中任意非空子群集都有极大(小)者。②局部系概念,如果群G的某个子群集L满足条件a.L中子群的并集等于整个群G;b.L中任意两个子群含于L中的某个子群内，那么L称为局部系。如果G中存在一个由具有性质p的子群组成的局部系,就说群G局部地有性质p或局部p群。于是就有局部有限群、局部幂零(可解)群类。③正规系（不变系）的概念，是熟知的正规列、不变列的推广。可用它们来定义所谓RN群、RI群等。④要求对某些构成方法，诸如“取子群”、“取商群”、“取直积”、“取扩张”等是封闭的,也可划分出一些群类。最重要的本原类就是关于“取子群”、“取商群”、“取直积”封闭的群类。

作为把一类无限群化归为对有限群的研究的例子，是切尔尼科夫定理：一个群是对子群有极小条件的可解群，当且仅当它是对子群有极小条件的可除交换群借助有限可解群的扩张。作为推广有限群论的定理的例子，是R.贝尔的结果:局部正规群(指它的任意有限子集含于它的某个有限正规子群中)的两个西洛p子群是局部共轭的。

无限群论中所特有的局部定理，回答了一个群局部地具有性质p是否它本身也具有性质p的问题。例如对于RN群有局部定理:局部RN群(局部RI群)是RN群(RI群)。Α.И.马尔采夫给出了一个证明局部定理的统一方法，即后来称作马尔采夫-塔尔斯基完备定理中所指出的方法。

群的构成方法是群论的重要课题之一。尤其是有限群的扩张问题。研究用生成元和定义关系给出的群，以及群的直积、群的自由积和自由群等。

为方便起见,引入空字即不含任何元素的字。如果有α∈I，α，b∈M,使集合,那么(α,b)称为一个逆对。令G是一切满足以下条件的M字全体。①在字(1)中任意两个相邻元素αi,αi+1不组成逆对;②规定G中两个元素α1α2…αn和b1b2…bm之乘积:若(αn,b1)不是逆对,则为G中M字α1…αnb1…bm；（此时可能出现空字或只有αj或只有bj的情况）。易知在此运算下空字是单位元,而G中每一元都有逆元。可以证明这个乘法适合结合律，因而G是一个群，称之为以x为自由生成元集的自由群。

自由群G有如下的泛性质：任给一群H,任给集x（G的自由生成元集）到集H的一个映射φ,则φ可扩充为群G到群H的一个同态映射。由此可得，任意群H都是某个自由群的商群。关于自由群有重要的尼尔森－施赖埃尔定理：自由群的任意异于单位的子群本身也是自由群。它的推广是对一些群的自由积的子群的刻画，即著名的库洛什定理：若，而H是群G的子群,则群H有自由分解，其中F是自由群,而任一Bβ在G中共轭于某个Aα的一个子群。群G称为其子群Aα（异于单位子群）的自由积，是指①集合生成整个群G。② 若这些元素αi都异于单位元而(2)中相邻的两个元素没有同属于一个Aα者，则这样的表示法是惟一的。此时记作。

群论中有一些著名问题，例如，在具有有限个生成元和有限个定义关系式的群中，讨论两个元素是否相等的所谓恒等问题；讨论两个元素是否共轭的所谓共轭问题；讨论这样两个群是否同构的所谓同构问题；讨论有限生成的周期群是否为有限群的所谓伯恩赛德问题。E.C.戈洛德对伯恩赛德问题给出了反例。于是退而提出了有界伯恩赛德问题:具有k个生成元且满足恒等式xn=1的群（都记作B(n，k)）是否为有限群。已经证明,B(6,k)都是有限群，而当奇数n≥665,k>1时，总有是无限群的B(n,k)，后者即∏.С.诺维科夫和 С.И.阿江的著名定理。无限群论在研究一般代数系统中起着示范作用。它本身也在继续发展。

具有拓扑结构的群。设G既是群，又是拓扑空间，而且群的乘法及求逆运算都是连续映射，则称G为拓扑群。例如，实数集R和复数集C，以及由它们作出的向量空间R，C对于通常的加法和距离拓扑都是拓扑群.设G1，G2都是拓扑群，φ是G1到G2的映射，若它既是群同态又是连续映射，则称φ为连续同态，简称同态.全体拓扑群以及拓扑群间的同态，构成拓扑群范畴.拓扑群的概念来源于连续变换群.当同时考虑这种群中群的性质及取极限的运算时，就产生了拓扑群.李(Lie，M.S.)在讨论微分方程解的分类问题时，发现了一类连续群，李对其进行了系统的研究，得到了日后以他名字命名的李群。李是拓扑群论的先驱者。

李群是由挪威数学家S.李创立的一类连续变换群。

1870年前后，S.李开始研究连续变换群的概念，并用它们阐明微分方程的解，将微分方程进行分类。1874年，他建立了李群的一般理论。一个李群可以表示成如下形式：

i=1，2，…，n，其中fi对xi和ai都是解析的，xi是变量，而ai是参数，(x1，x2，…，xn)表示n维空间中的一点。变量或参数都取实数值或复数值。1883年，S.李借助于一组微分方程定义连续变换群。他的目的是用各种不同的方法把常微分方程的不同类型化成可由积分求解的形式，并建立起它们之间的一致性。S.李证明，如果一阶常微分方程接受由某个无穷小变换所确定的变换群，那么这个微分方程的解就可由积分式表达。他还考察了许多种带有已给变换的方程。这样一来，S.李就依据无穷小变换把微分方程进行分类。

李群理论在最初的相当长一段时间内仅与一些微分方程的积分有联系，而与数学的其他分支关系不大。在19世纪的最后10年以及20世纪，李群理论在各种不同方向，主要是代数学和拓扑学方面得到了迅速的发展，成为数学的一个重要分支。李群理论的第一个近代化的叙述是由原苏联数学家庞特里亚金于1938年给出的。20世纪50年代，李群理论的发展进入了一个新的阶段，主要标志是代数群论的创立。代数几何方法的应用使李群理论的经典结果得到新的阐述，从而揭示了它与函数论、数论等理论的深刻联系。紧接着，p进李群的理论也得到重大发展。事实上，李群理论与数学的几个主要分支都有联系：通过李变换群与几何学、拓扑学的联系，通过线性表示论与分析的联系等。李群在物理学和力学中也有着重要应用。