更新时间：2023-08-04 15:12
算术群是较为广泛的一种群，诸如有限群、有限生成的交换群、无挠的有限生成幂零群以及有限生成的非交换自由群等都是算术群。
李群中带有算术性质的一类离散子群。例如，实数域R中的整数全体Z；GL(n,R)中的GL(n, Z)；SL(n, R)中的SL(n,Z)等。令G=GL(n, R)，Г= GL(n,Z),若GL(n,Q)的子群G′是与Г相称的,则G′称为GL(n,R)中的算术子群。所谓群H的子群H1与H2是相称的,意即H1∩H2在H1及H2中的指数【H1:H1∩H2】与【H2:H1∩H2】都是有限的。相称关系是个等价关系。设G是定义在有理数域Q上的线性代数群,GQ表G的Q有理点所成的子群, 又令GZ=GQ∩GL(n,Z)，若GQ的子群Г与GZ相称，则Г称为G的算术子群。这个性质是与G如何嵌入在GL(n,坴)中无关的。
如果Г 能同构于G 的一个算术子群, 则Г 称为算术群。显然，算术群中的有限指数的子群都是算术群。算术群是较为广泛的一种群，诸如有限群、有限生成的交换群、无挠的有限生成幂零群以及有限生成的非交换自由群都是算术群；如果环R又是有限秩自由Z 模,那么环R的所有单位所成的乘法群R,都是算术群；特别地，代数数域K的整数环的乘法群，都是算术群。
还有一类重要的算术群。自然同态 ω：GL(n,Z)→GL(n,Z/qZ)下的核Kerω=Гq,称主同余子群,这里ω是把任一n阶整系数方阵(gij)映射到方阵(ij)∈GL(n,Z/qZ)，其中q为大于1的正整数，而ij是整数gij所属的模q剩余类。含主同余子群Гq的算术子群Г,Гq嶅Г∩GL(n,Z)称同余子群。所以同余子群必然是算术子群,但是,每个算术子群Г是否都是同余子群,即是否有q使Г∩GL(n,Z)叾Гq，这是算术群理论中的一个核心问题，并称之为同余子群问题。当G=SL(n，R),n≥3时,同余子群问题已有肯定答案，而n=2时是否定的。对G是别的分裂型单连通单代数群时，也有类似结果。
最早研究的算术群是SL（2,Z）,称为模群。设H是复数平面的上半平面，即H ={z=x+iy∈C│y>0}，矩阵以下列方式作用在H上:z ∈H,SL(2,Z)是SL(2, R)中的算术子群，对于这个算术子群SL(2,Z)可以找到H的一个子集D，使D是SL(2,Z)在H上的基本域,即满足①SL(2,Z)·D=H,②若g′∈SL(2,Z),则集合{g∈SL(2,Z)|gD∩g′D≠═}是有限集,也可以对一般算术群定义基本域。研究基本域的存在，紧致性、测度等方面的理论，称为算术群的简约理论。它也是算术群理论中的一个核心问题。早在19世纪，C.F.高斯和J.W.R.戴德金等人在研究椭圆函数的时候，就涉及模群SL(2, Z)及模群下不变的模函数，高斯在讨论正定二元二次型的整等价分类时，也已经知道模群的基本域。20世纪30年代C.L.西格尔研究算术群SL(n,Z),并作出了它的基本域，称为西格尔区域,而SL(n,Z)称为西格尔模群。至于一般线性代数群中算术群的研究，则是在60年代由A.博雷尔、哈里什－钱德拉以及J.蒂茨开始。这个概念就是首先在他们研究李群中的格的存在性时产生的。随后，A.赛尔伯格和其他人提出了一个著名的猜想：R-秩大于2的任一半单李群的不可约格皆是算术的。经过博雷尔、M.拉格休内森等许多著名数学家的努力工作，这一猜想最后为G.A.马圭利斯所证实，他因此获得1978年的费尔兹奖。这些工作大大地推动和丰富了算术群的研究。
算术群的元素的种其中p取遍 所有素数，Q和吞分别表示有理数域和p进整数环. 元素“的李(c地)定义为它在Gz中的共扼类一个 元素a的种分解为不相交的类的个数是有限的(〔11)， 此数记为无(a)，称为元素a在种中的类数这里出现的几上的函数无是在关于共辘的 问题中用以反映局部一整体原则的偏差程度的重要数 值特征一般说来，进而言之，如果群G是 半单的并且群乓是无限的，则对于任一算术子群，有时法(a)“co这里所考虑的 概念是二次型理论中相应的经典概念的自然的变形， 用于与共扼性有关的算术群的剩余逼近的研究中。
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