上面结论也不做证明了。依据上面的结论，说明一下为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现，如果新图中e的权w'(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在我们删除 掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，我们 得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了。

如果实现得很聪明的话，可以达到找最小入边O(E)，找环 O(V)，收缩O(E)，其中在找环O(V)这里需要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E)，然后最多会收缩几次呢？由于我们一开始已经拿掉了所有的 自环，我门可以知道每个环至少包含2个点，收缩成1个点之后，总点数减少了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候，最小树形图就不不用求了。所以我们最 多只会进行V-1次的收缩，所以总得复杂度自然是O(VE)了。由此可见，如果一开始不除去自环的话，理论复杂度会和自环的数目有关。

例1、随机掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两个骰子向上的一面点数都是奇数的概率为多少？

分析：本题中的事件是掷两枚骰子，看向上的一面点数，由此可确定本事件包括两个环节，掷第一枚骰子和掷第二枚骰子，所以树状图该画两层。第一枚骰子向上的一面的点数可能是1，2，3，4，5，6等6个的一个，所以第一层应画6个分叉；再看第二层，第二枚骰子，向上一面的点数可能是6个的一个，所以第二层应接在第一层的6个分叉上，每个小分支上，再有6个分叉。画出树状图，这样共得到6×6种情况，从中找出两个骰子向上的一面点数都是奇数的情况，再求出概率。

解：画出树状图，如图1。

由图中可以看出，两枚骰子向上的一面点数的可能性情况共36种，其中向上的一面点数都是奇数的情况有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1）（5，3）（5，5）共9种情况，从而得两个骰子向上的一面点数都是奇数的概率（记为事件A）为P（A）=9/36=1/4

点评：由本例看出，只要画好了树状图，就很容易求出概率。而画树状图的关键一是确定层数，二是确定每层分叉的个数。

例2、一个口袋中装有红、白、绿三只小球，另一只口袋中装有（除颜色外其余都相同）红、白两只小球。现从两只口袋中各取一只小球，求两只小球颜色一样的概率是多少？

分析：本题从两只口袋中各取一只小球，由此可见事件的环节共两个，树状图画两层。由于一只口袋中装有三只小球，所以此层应有三个分叉。另一只口袋中装有两只小球，拿一个球的可能性有两种，此层可能有两个分叉。各层的分叉要画对。至于两只口袋中哪只放上，哪只放下，可以随便画，不影响结果。

解：画出树状图如下图2（图3也正确）：

从图中可以看出，两只小球颜色的可能性共6种，而两只小球颜色一样的可能性只有（红，红），（白，白）共2种，所以两只小球颜色一样的概率（记为事件A）为P（A）=2/6=1/3

点评：本题与上题不同的是两个口袋的球数不等，所以各层的分叉要根据本层的可能情来确定，这是画树状图最不易掌握的知识点，大家要多加揣摩。