概率母函数 - 知识百科

概率母函数

更新时间：2023-01-08 17:45

在概率论里，概率母函数是指该随机变量的概率质量函数的幂级数表达式。它也是研究随机变量分布律的一个重要的分析工具。

函数定义

单变量情形

如果X是在非负整数域{0，1， ...}上取值的离散随机变量，那么X的概率母函数定义为：

其中p是X的概率质量函数。

多变量情形

如果X= (X1，...，Xd )是在d-非负整数格{0，1， ...}上取值的离散随机变量，那么X的概率母函数定义为：

其中p是X的概率质量函数。

函数性质

幂级数

概率母函数服从幂级数的所有非负系数的规则。特别地，，其中，因为概率必须总和为1。所以任何概率母函数的收敛半径必须至少为1，通过具有非负系数的幂级数的Abel定理来证明。

概率和期望

以下性质是与X有关的各种基本量的推导：

1、X的概率质量函数通过取G的导数来恢复，

2、概率密度函数的归一化可以用母函数来表示：

该预期的X由下式给出：

所以，X的方差由下式给出：

独立随机变量的函数

概率母函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如：

如果X1，X2，...，Xn是一系列独立的（不一定是相同分布的）随机变量，并且其中ai是常数，则概率母函数由下式给出：

例如，如果

那么，概率母函数GSN（z）由下式给出：

也就是说，两个独立随机变量S=X1-X2的差的概率母函数是：

函数示例

1.一个常数随机变量（即）的概率母函数是：

2.一个的概率母函数二项式随机变量，在成功的次数Ñ试验中，概率p是每次试验成功的概率，概率母函数是：

注意，这是具有参数p的伯努利随机变量的概率母函数的n倍乘积。

所以，掷硬币时间的概率母函数是：

3.一个概率母函数的负二项随机变量在{0，1，2 ...}中，每次试验的成功概率p，概率母函数是：