更新时间：2022-08-25 12:22
当满足以下条件的模糊集合A，即可被称为模糊数Ã：A 必须是一个正规 (Normal) 模糊集合。 α∈A对所有的α∈(0, 1] 必须是一个封闭区间 (也就是必须是凸集合)。 A (A的底集) 必须是有界的。条件1现今已非绝对必要的。现在的研究容许有非正规 (Non-normal) 模糊数的存在，此类的模糊数又可称为一般性模糊数 (Generalized Fuzzy Numbers)。 模糊数常被用来表示人类的语义，如：很好、普通…等。
设A是实数集R上的模糊集, 即A∈F(R)。如果A是正规的(即存在x∈R有A(x)=1)，且对任意λ∈(0,1]。Aλ是闭区间， 则称A是一个模糊数。若模糊数A的支集suppA有界，则称A为有界模糊数。
区间数是模糊数的特例。
设A∈F(R). 则A为模糊数当且仅当存在实数a≤b使得
(1) 在[a, b]上A(x) ≡1;
(2) 在(-∞, a)上A(x)为右连续的增函数且0≤A(x)<1, A(x) →0 (x→∞)；
(3) 在(b, ∞)上A(x)为左连续的减函数且0≤A(x)<1, A(x) →0 (x→∞)。
模糊数一般可以分为三角模糊数和梯形模糊数，现在的研究容许有非正规 (Non-normal) 模糊数的存在，此类的模糊数又可称为一般性模糊数(Generalized Fuzzy Numbers)。
模糊数是普通实数的推广, 自然希望利用实数的加、减、乘、除来定义模糊数的相应运算。
模糊数的运算就根据此进行定义, 其本质就是扩张加法、扩张减法、扩张乘法、扩张除法。定义如下
设A, B为模糊数, 则定义其加、减、乘、除运算如下：
(A+B)(z)=∨x+y=z(A(x)∧B(y))，
(A-B)(z)=∨x-y=z(A(x)∧B(y))，
(A×B)(z)=∨x×y=z(A(x)∧B(y))，
(A÷B)(z)=∨x¸y=z(A(x)∧B(y)。
利用凸模糊集可以定义模糊数。模糊数的讨论是在区间数的基础上,所谓区间数就是把一个闭区间[a,b]作为一个数来处理,从而形成计算数学的一个新的分支——区间分析。
在YagerandFilev所提出的模糊数权重思想之上，针对模糊数的排序，提出了一种新的排序的方法，这种方法的提出很好的解决了以前存在的问题。在论文中，分析了公式要处理的六种情况，并且，推导出了运用公式处理这六种情况所产生的结果，这样以来，就可以在处理排序问题的时候直接运用公式推导出的结果进行讨论，简化了以往讨论的复杂性。进一步用图象来分析公式的几何意义，运用matlab给出了形变因子对模糊数的影响的图像，经过图像分析之后，我们在形变因子对隶属度函数影响的方面有个很清晰的认识。最后针对满意度公式，提出具有代表性的数值例子进行说明。
在不同的形变因子影响之下，得到排序的结果也不相同。公式的提出很好的处理了结果的单一性，可以根据对结果所产生的图像进行分析，得出需要的结果。
实数集R的子集
{x∈R|a1≤x≤a2，a1，a2∈R}
称为区间数, 记为[a1, a2]。
所有区间数记为I(R)。
通常用大写字母表示区间数, 比如A=[a1, a2]。
区间数的“相等”定义为:
A=[a1， a2]，B=[b1， b2]。A=B↔a1=b1且a2=b2
定义
已知区间数A=[a1, a2], B=[b1, b2]. 定义其加、减、乘、除(除法要求除子区间数不含0)：
(1) A+B=[a1+b1, a2+b2].
(2) A-B=[a1-b2, a2-b1].
(3) A×B=[a1b1∧a1b2∧a2b1∧a2b2，a1b1∧a1b2∧a2b1∧a2b2]。
(4) A÷B=[(a1÷b1)∧(a1÷b2)∧(a2÷b1)∧(a2 ÷b2)，(a1÷b1)÷(a1÷b2)∧(a2÷b1)∧(a2÷b2 )]。0∉[a,b]。
注意点
(1) 区间数的加法与减法并非互为逆运算。
(2) 区间数的乘法与除法并非互为逆运算。
(3) 区间数的加法与乘法都满足交换律， 结合律。
(4) 区间数乘法对于加法的分配律不成立。
所谓积分，无论是黎曼积分还是勒贝格积分都不外乎是被积函数和测度函数的一种内积，不同的只是以不同的测度为基础。因此研究模糊积分要从研究模糊测度开始。常见的有测度、2-可加模糊测度、可能性测度、必要性测度等。
首先，回顾一下概率测度的概念。概率的统计定义虽然直观, 但在数学上很不严密， 比如会产生概率悖论等问题。公理化概率论是以测度论为基础的， 当把随机试验的每一种可能结果归结为抽象空间中的点时，样本点所组成的集合就是随机事件，而事件发生的概率不过是度量这些集合大小的一种特定的测度，这就是概率测度。
模糊测度有多种解释， M. Sugeno对模糊测度做了这样的解释：设有某个元素x∈X， 我们猜想x可能属于A的某个元素A (即A∈A, 且x∈A). 这种猜想是不确定的，是模糊的， g就是这种不确定性(模糊性) 的一个度量。
一个确定的点对于 一个模糊集合的隶属程度, 是经典集合论中点对集合属于关系的一种推广。模糊测度是普通属于关系的另一种推广, 即一个尚未确定的点 (信息不充分条件下) 对于经典集合的属于关系。