求欧拉长方体的棱长，即求下列不定方程组的整数解：

a^2+b^2=d^2

b^2+c^2=e^2

c^2+a^2=f^2

式中a、b、c是棱长，d、e、f是面对角线长。相应的解完整地记作（a, b, c; d, e, f）。由于可从(a, b, c)决定（d, e, f），有的文献中就省略后者，记作（a, b, c）。

最小的欧拉长方体（44,117, 240; 267, 244, 125）是1719年由Hackle发现的。

如果欧拉长方体的空间对角线长也是整数，就成为完美整数长方体（Perfect Rational Cuboid），简称完美长方体（Perfect Cuboid），截止2007年10月，还没有找到任何完美长方体，亦未有人证明完美长方体不存在。若存在完美长方体，最小的完美长方体的奇数棱长不少于2.1 ×10^10。