波德图

更新时间:2024-06-17 15:13

波德图(英语:Bode plot,“Bode”的英文发音类似Boh-dee,荷兰文的发音则类似Bow-dah),又名伯德图、波特图,是线性非时变系统的传递函数对频率的半对数坐标图,其横轴频率以对数尺度表示,利用波德图可以看出系统的频率响应。波德图一般是由二张图组合而成,一张幅频图表示频率响应增益分贝值对频率的变化,另一张相频图则是频率响应的相位对频率的变化。

简介

波德图是由贝尔实验室的荷兰裔科学家亨德里克·韦德·波德在1930年发明。波德用简单但准确的方法绘制增益及相位的图,因此他发明的图也就称为波德图。

波德图幅频图的频率用对数尺度表示,增益部分一般都用功率分贝值来表示,也就是将增益取对数后再乘以20。由于增益用对数来表示,因此一传递函数乘以一常数,在波德增益图只需将图形的纵向移动即可,二传递函数的相乘,在波德幅频图就变成图形的相加。幅频图纵轴0分贝以下具有正增益裕度、属稳定区,反之属不稳定区:

波德图相频图的频率也用对数尺度表示,而相位部分的单位一般会使用度。配合波德相频图可以估算一信号进入系统后,输出信号及原始信号的比例关系及相位。例如一个Asin(ωt) 的信号进入系统后振幅变原来的k倍,相位落后原信号Φ,则其输出信号则为(Ak)sin(ωt+Φ),其中的k和Φ都是频率的函数。相频图纵轴-180度以上具有正相位裕度、属稳定区,反之属不稳定区

若将系统的增益以复数表示,则复数增益取对数后的虚部即为相位,因此二传递函数的相乘,在波德相位图上也是图形的相加。

波德图的增益和相位很难单独的变动、二者会互相牵扯,当调整系统的增益响应时,系统的相位响应也会随之变化,反之亦然。最小相位系统的增益和相位特性之间可以用希尔伯特转换来转换,因此知道其中一项即可求出另外一项。

若转换函数是有理函数,其零点及极点均为实数,则其波德图可以用几条渐近线的直线来近似,利用简单的规则即可以徒手绘制。若近似的波德图再修正每个截止频率时的增益值,则其近似值会更接近实际值。

波德图手绘的规则

波德图的前提就是可以处理以下型式函数的对数值:

上述函数的对数值可以转换为极点及零点对数的和:

在绘制波德相位图时直接使用了上述的概念。增益图的绘制时则是以此概念为基础,因为每个极点或零点其增益的对数均从0开始,而且其渐近线只有一个转折点,因此绘制时可以再作简化。

直线近似的增益图

波德图增益分贝值一般都利用 20log10(X)的公式。考虑以下的转换函数:

其中及是常数,s=jΩ,an,bn>0,而H是转换函数。

波德图(Bode)是振动的幅值(尤指工频分量或二阶分量)和相位随转速而变化的图。与频响函数的幅、相频特性曲线类似。从波德图上可以清楚的看出转子过临界转速的振动状况。

波德图(bode)是反映机器振动幅值、相位随转速变化的关系曲线。图形的横坐标是转速,纵坐标有两个,一个是振幅的峰-峰值,另一个是相位。从波德图上我们可以得到以下信息:

a. 转子系统在各种转速下的振幅和相位;

b. 转子系统的临界转速;

c. 转子系统的共振放大系数(Q=Amax/ε);一般小型机组Q在3~5甚

至更小,而大型机组在5~7;超过上述数值,很可能是不安全的;

d. 转子的振型;

e. 系统的阻尼大小;

f. 转子上机械偏差和电气偏差的大小;

g. 转子是否发生了热弯曲。

稳定性

一般是指作用在系统上的扰动排除后,系统能否恢复原状、或以怎样的精度恢复原状的性能。它是控制理论的一个极其重要的问题。在经典控制理论中,一般涉及到的是定常的线性系统,有关这种系统的稳定性的判别方法主要有: 罗斯—胡尔维茨准则、奈奎斯特判据、波德图、尼柯尔图和根轨迹法等。在现代控制理论中,对线性系统和非线性系统的稳定性的研究,主要是李雅普诺夫的稳定性理论。李雅普诺夫根据系统的输出 (响应) 是否有界来定义系统的稳定性,并区分了三种情况: (1) 稳定的,即对于系统初始值的一个扰动,如果其响应的幅值是有界的。(2) 渐近稳定的,即对于系统初始值的一个扰动,如果其响应能够最终回到初始状态。(3)不稳定的,即对于系统初始值的一个扰动,其响应的幅值不是有界的。经典控制理论所研究的稳定性只限于第二种情况渐近稳定,而把另两种情况都看作是不稳定的。因而李雅普诺夫的稳定性概念更具一般性。李雅普诺夫用两种方法分析系统的稳定性,第一种方法是: 用近似极数表示非线性函数,然后用近似方法求解非线性方程,最后根据解的性质,确定其系统的稳定性; 第二种方法是: 不必求解方程,而用李雅普诺夫函数的纯量函数来判别系统是否稳定,并分析系统的响应。由于第二种方法具有不必求解方程的特点,因而也称直接法,而称第一种方法为间接法。由于许多非线性系统和时变系统的方程是难以求解的,又由于通过计算机可以找到所需的李雅普诺夫函数,还能找到系统的稳定区域,所以第二种方法在控制理论中得到广泛应用。稳定性对于社会经济系统极为重要,是经济学经常讨论的重要课题之一。探讨经济系统的稳定性,对于了解经济系统的动态发展规律、预测经济发展方向以及分析经济系统的结构等,都有着重要的现实意义。

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