《测圆海镜》数学上的成就有三点：“天元术”，即列方程解决问题的一种“机械化”程序，相当于现代设x为未知数列方程的方法，这是一项具有世界意义的创举；勾股形解法，把传统的勾股形研究推进到一个新的层次；数学抽象化的新起点。此书虽然形式上仍采用问题集的表述方式，但问题显然已不是从实际生活中得来的，而是出于数学研究的需要产生的，只是出于传统，披上了“实用”的外衣，这对中国古代数学无疑是一种重要的突破和补充，就内容看，给出了一些专门的概念和公式(“识别杂记”)，采用了演绎推理的方法等，在中国数学思想发展史中占有重要的地位。

李冶(1192-1279)是中国古代数学家，字仁卿，号敬斋，真定府栾城县（今河北省石家庄市栾城区）人，宋元数学四大家之一。

李冶生于大兴（今北京市大兴县），父亲李通为大兴府推官。李冶自幼聪敏，喜爱读书，曾在元氏县（今河北省元氏县）求学，对数学和文学都很感兴趣。《元朝名臣事略》中说：“公（指李冶）幼读书，手不释卷，性颖悟，有成人之风。”

李冶一生著作虽多，但他最得意的还是《测圆海镜》．他在弥留之际对儿子克修说：“吾平生著述，死后可尽燔去．独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者．庶可布广垂永乎？”

李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的。这时天元术虽已产生，但还不成熟，就像一棵小树一样，需要人精心培植。李冶用自己的辛勤劳动，使它成长为一棵枝叶繁茂的大树。

李冶作为一个有成就的数学家，在治学态度方面，具有与古往今来的科学家所共有的精神，也有其独特之点：

1.在极端艰苦的条件下坚持科学研究，从不间断自己的工作。李冶处在一个动荡不定的时代，特别是弃官隐居以后，从事科学研究的环境是十分艰苦的，常常饥寒至不能自存，但仍处之泰然，以讲学著书为乐。对于数学研究，他也是下过苦功的，他在病危时对其子克修说：“测圆海镜一书，虽九九小数，五常精思致力焉，后世必有知者”。

2.坚持科学真理，不为闲言蜚语所动摇数学研究在当时社会是被轻视的，李冶的工作很少得到当时学者的理解。《测圆海镜》和《益古演段》两书，是在他逝世后三十年才得以付印的。

3.善于接受前人知识，取其精华。有人问学于李冶，李冶回答说：“学有三：积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深”。这就是说，要去其糟粕，取其精华，并使它成为自己的东西。

4.反对文章的深奥化和庸俗化，主张文章是为别人，而不是为自己。李冶在《益古演段》序中说：“今之算者，未必有刘（徽）李（淳风）之工，而编心踞见，不肯晓然示人唯务隐互错揉故为溪滓黯哭，唯恐学者得窥其仿佛也。”他的《益古演段》就是这种主张下的著作。

纵观李冶一生，不管是在为人上还是在学术上，都不愧为一代楷模．他在任钧州知事期间，为官清廉、正直，亲自掌管出纳，一丝不苟。据载，钧州城的出纳“无规撮之误”。在当时动乱的环境中，像李冶这样的清官确实是难能可贵的。李冶在《敬斋古今黈》中说：“好人难做须著力”，又说：“著力处政是圣贤阶级”，这正是他为人做官的写照。他同情人民，面对蒙古军队的屠杀和抢掠，不仅在诗文中表现了极大的愤慨，而且在见忽必烈时，力劝蒙古统治者“止征伐”。他一生热爱科学，追求自由，决不负辱求名。在学术上不迷信名家，敢于突破传统观念的束缚。他虽是通儒出身，但当他认识到数学的重要性时，便专攻数学，这种行动本身就是对传统儒学的批判，因为在儒家看来，数学“可以兼明，不可以专业”。当时盛行的新儒学——程朱理学，甚至把研究科技看作“玩物丧志”，把数学说成“九九贱技”。李冶毫不客气地批评了这些错误观点，指出在朱熹的著述中“窒碍之处亦不可以手举也”。

值得注意的是，李冶的思想深受道家影响。道家崇尚自然，这无疑是有利于把人们的眼光引向自然科学的。庄子的自然观甚至成为李冶抵制唯心主义理学的思想武器。他说：“由技兼于事者言之，夷之礼，夔之乐，亦不免为一技；由技进乎道者言之，石之斤，肩之轮，非圣人之所与乎？”(夷，黄帝臣名；夔，舜臣名。石，扁，均为古工匠名)这就是说，从技艺用于实际来说，圣人所作的礼和乐也可看作一种技艺；从技艺中包含自然规律(即“道”)来说，工匠使用的工具也是圣人所赞赏的。如果我们把李冶的话同庄子所说的“道者，万物之所由也。……道之所在，圣人尊之”联系起来，李冶受庄子思想的影响是一目了然的。很明显，他认为数学这种技艺也是“道之所在”，也应受到尊重。

李冶还认为，数虽奥妙无穷，却是可以认识的，他说：“谓数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可。何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也。”李冶的这一思想，也可以从老庄学说找到渊源。庄子说：“夫昭昭生于冥冥，有伦生于无形．”老子说：“人法地，地法天，天法道，道法自然”，“道之尊，德之贵，夫莫之命而常自然。”正是由于对自然的深刻理解，李冶进一步指出：“数一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦末如之何也已。苟能推自然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣。”

李冶不仅有比较先进的哲学思想，而且能在极为艰苦的条件下进行顽强的科学研究．他在桐川著书时，居室十分狭小，甚至常常不得温饱，要为衣食而奔波．但他却以著书为乐，从不间断自己的工作．他的学生焦养直说他“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”，“手不停披，口不绝诵，如是者几五十年”．另外，他还善于去粗取精，批判地接受前人知识，正如他自己所说：“学有三，积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深．”这些优良品质，都是李冶在学术上取得杰出成就的重要原因．

李冶时代，数学不受重视，但李冶却执着地追求真理，他在《测圆海镜序》中说：“览吾之编，察吾苦心，其悯或者当百数，其笑我者当千数，乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉？”李冶不仅学术精深，而且致力于传徒授业，对学生循循善诱。后人盛赞李冶“导掖其秀民，仁之至也。其徒卒昌于时，孰不曰文正公所作成也”(文正为李冶谥号)。李冶以自己的毕生心血，在中国科学史上写下了光荣的一页，被人们深深怀念着。

《测圆海镜》由卷一的圆城图式、说明各个长度名称的总率名号、给出各个长度数值的今问正数、囊括了各个量之间关系的公式总集识别杂记；卷二至卷十二，共一百七十个问题及其解答所组成。书中一共有148问，182种方法是以天元术列出方程以求解，其中列出一次方程31个，二次方程106个，三次方程24个，四次方程20个，六次方程1个。

圆城图式是全书的总括图解，由一个直角三角形（古时称为勾股形）、它的内切圆以及一些特定的点和直线组成。其中的顶点、圆心和交点都用某个汉字来指代。最大的三角形的三个顶点分别是天、地、乾，天地乾三角形的内切圆圆心称为心。过心的垂直线从上至下分别和三角形、内切圆交于日、南、北三点。过心的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于川、东、西三点。过东的垂直线和过南的水平线都是内切圆的切线，它们分别交天地乾三角形于艮、坤、山、月四点，而相交于巽点。乾坤巽艮构成一个正方形。过月的垂直线交东西水平线于青点，交地乾边于泉点。过山的水平线交南北垂直线于朱点，交天乾边于金点。而这两条线相交于泛点。最后过日的水平线交天乾边于旦点，过川的垂直线交地乾边于夕点。总共22个点。

全书所研究的三角形一共有15个，全部是以天地线之间的线段为弦（斜边）的直角三角形。总率名号给出了这些三角形和线段的名称。它们分别是：

其中弦是三角形斜边，股是三角形的长直角边（这里是竖直的），勾是三角形短直角边（这里是水平的）。（代表通勾，代表通股，代表通弦，余类推）。

今问正数一节给出了圆城图式每个线段的长度。其中以内切圆的半径为120步，作为标准。

例子:“通弦六百八十，勾三百二十，股六百；勾股和九百二十，较（两者的差）二百八十；勾弦和一千，较三百六十；股弦和一千二百八十，较八十；弦较和九百六十，较四百；弦和和一千六百，较二百四十。”

15个勾股形中上高 = 下高；上平=下平，因此，15个勾股形中，只有13个勾股形是相异的。

《今问正数》共15个勾股形×13项=195项。 ，列表如下。

识别杂记都是关于不同线段之间的几何关系式。一共给出了692个公式。是全书的纲领。

识别杂记包含八项：

名目

新设第一率

新设第二率

新设第三率

新设第四率

杂用公式

五和五校

从第二卷开始，《测圆海镜》中一共出现了一百七十个问题，它们都是围绕着同一个题设背景而展开。

在第二卷开头，李冶作出了以后题目公用的总假设：

“假令圆城一所，不知周径，四面开门，门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为乾地，其东北十字道头定为艮地，其东南十字道头定为巽地，其西南十字道头定为坤地。所有测望杂法，一一设问如后”

这里的圆城就是指'''天地乾'''三角形的内切圆，其方向按照圆城图式里面'''东南西北'''四个点的位置而定（注意北在下方，东在左边，与现在通用的方位相反），所谓的“乾地”、“坤地”则是指圆城图式里面出现的'''乾'''点、'''坤'''点等等。以后的每个问题中要求的长度都是圆城的半径或直径。

接下来的问题都是已知某些线段的长度，问圆城的半径或直径。李冶在每一题的题目之后都先写出解法（代数演算），再给出演草（代入数值的计算）。

开头十个问题，不需要天元方程。清代数学[[李善兰]]认为，第一个问题和《[[九章算术]]》的勾股容圆题目一样，第二问至第十问就是《自序》中提到的“洞渊九容”李冶《自序》“老大以来，得洞渊九容之说，日夕玩绎，而向之病我者，使爆然落去而无遗馀”。但李冶原书或《四库全书》李锐较本都没有这九个问题的细草，李善兰在《天算或问》一书中根据相似三角形原理求得各式，并以第二问为例阐明如下

又因：

所以

得

其余类推。

第一问：''或问：甲乙二人俱在乾地，乙东行三百二十步而立。甲南行六百步望见乙，问径几里？''

答曰：城径二百四十步。

第二问：勾上容圆

第三问：股上容圆

第四问：勾股上容圆

第五问：弦上容圆

第六问：勾外容圆

第七问：股外容圆

第八问：弦外容圆

第九问：勾外容圆半

第十问：股外容圆半

从第十四题开始，引入'''[[天元术]]'''，将所求的未知量设为“'''天元'''”，然后根据'''识别杂记'''中给出的公式构造出两个天元式，另其相等，然后解方程得出答案。《测圆海镜》中天元式的次序，高次幂在常数项之上，和《益古演段》，《四元玉鉴》的相反。

第十四问

“或问出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之。问答同前”。

法曰：以二行步相乘为实，二行步相并为从，一步常法，得半径。

草曰：立天元一为半径，置南行步在地，

内减天元半径得股圆差：

又置乙东行步在地，内减天元，得勾圆差：

以勾圆差增乘股圆差得半段黄方幂：

又置天元幂以倍之，也为半段黄方幂；

因此，得

相消得：

解方程，得

边股17问

底勾17问：

已知及另一边求直径d.

第三卷边股问与第四卷同次第底勾问成对偶。

大股18问：已知

大勾18问：

明叀前18问

求直径d

边股17问

注：家藏李冶所著《测圆海镜》四本12卷（清同治刻本）。又藏“敬斋”铜印一方，中空，盖为“子母印”中的“母印”，印方八分、高六分，顶狮钮高六分，印文为朱文“敬斋”二字，篆体。

考“敬斋”铜印：或为李冶之印，以印配书，可谓双绝；或为明代胡居仁之印。胡居仁（1434—1484），字叔心，号敬斋，江西余干人，著《居业录》，一生以讲学为业，师事吴与弼。