中曲线C在P点的测地曲率向量 就是C在平面 上的投影曲线C*在P点的曲率向量。

证明:将曲线C按法向n垂直投影到切平面 ，得到切平面上的一条曲面C*，这时投影直线就组成了一个柱面 ，曲线C与C*都是柱面 上过P点的曲线，它们的切向量都是T(因为C与C*都在柱面上，故它们的切向量都垂直于柱面的法向；另一方面，C在曲面M上，故它的切向量垂直M的法向量n；而由C*在切平面 上，故C*的切向量也垂直M在P点的法向量n，由此推得C与C*在P点的切向量相同，都为T)，因为TXn为柱面的法向量以及 中向量 ，又因 ，故 ， 平行于柱面 在P点的法向，于是， 可视作曲线C在P点关于柱面的法曲率向量，所以对柱面运用Meusnier定理后知， 也为曲线C*关于柱面 的法曲率向量，但C*又可视作柱面上过P点的相应于方向T的法截线，易知， 就是C*在P点的曲率向量(图1)。