更新时间：2024-07-03 15:24
牛顿法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。 牛顿方程
牛顿法最初由艾萨克·牛顿于1736年在 《流数法与无穷级数》 中公开提出。而事实上方法此时已经由约瑟夫·拉弗森于1690年在Analysis Aequationum中提出，与牛顿法相关的章节《流数法与无穷级数》在更早的1671年已经完成了。
首先，选择一个接近函数f(x)零点的x0，计算相应的f(x0)和切线斜率f'(x0)（这里f'表示函数f的导数）。然后我们计算穿过点(x0,f(x0))并且斜率为f'(x0)的直线和x轴的交点的x坐标，也就是求如下方程的解：
例子
我们将新求得的点的x坐标命名为x1，通常x1会比x0更接近方程f(x) = 0的解。因此我们可以利用x1开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：
迭代
已经证明，如果f'是连续的，并且待求的零点x是孤立的，那么在零点x周围存在
一个区域，只要初始值x0位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果f'(x)不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能.粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。图1为一个牛顿法执行过程的例子。
求方程f(x) = cos(x) − x3的根。两边求导，得f '(x) = −sin(x) − 3x2。由
于cos(x) ≤ 1（对于所有x），以及x3 ＞ 1（对于x＞1），可知方程的根位于0和1之间。我们从x0 = 0.5开始。
牛顿法亦可发挥与泰勒展开式，对于函式展开的功能。
求a的m次方根。
xm - a= 0
设f(x) = xm − a，f'(x) = mxm − 1
而a的m次方根，亦是x的解，
按照牛顿第二定律，在惯性参照系中，质点在外力F作用下所获得的加速度矢量
与所受的力F有下列关系：F=ma。其中m是质点的质量，a是质点某一时刻的瞬时加速度。这是
一个矢量形式的二阶微分方程。在实际运算时，常选取不同的坐标系，方程的分量形式就会有不同的表示。
以直角坐标系为例。其分量形式为：
如果作用力时已知的，这一组二阶微分方程加上初条件（t=0时的位置和速度），解方程后即可决定以后任何时刻的位置和运动状态。